. 0 custo total da compra e manutenção de um equipamento por x anos pode ser modelado por C=5000(2+5 integral0^16 raiz[4]t d t). Determine o custo total depois de dezesseis anos.
a) 394.000,00
b) 400.000,00
c) 410.000,00
d) 550.000,00
e) 650.000,00

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma fórmula que nos diz o custo total de compra e manutenção de um equipamento ao longo de 16 anos. A fórmula é:
C = 5000(2 + 5 integral0^16 raiz[4]t , dt)
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com a integração da função raiz[4]t de 0 a 16. Vamos precisar calcular essa integral para depois multiplicar pelos outros números na fórmula e encontrar o custo total após 16 anos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função dentro da integral. A raiz quarta de t pode ser escrita como potência:
raiz[4]t = t^14
Então, a integral fica:
integral0^16 t^14 , dt

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. A regra básica para integrar t^n é:
integral t^n , dt = t^n+1n+1 + C
Onde C é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, vamos aplicar os limites depois.
No nosso caso, n = 14, então:
integral t^14 , dt = t^14 + 114 + 1 + C = t^5454 + C = 45 t^54 + C

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de 0 a 16 na antiderivada que encontramos:
45 t^54 |0^16 = 45 (16)^54 - 45 (0)^54
Sabemos que qualquer número elevado a zero é 0, então o segundo termo desaparece:
45 (16)^54

Passo 5

Vamos calcular (16)^54. Primeiro, entendemos que:
16^14 = raiz[4]16 = 2
Então,
16^54 = (16^14)^5 = 2^5 = 32

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da integral:
45 times 32 = 1285 = 25,6
Então, o valor da integral é 25,6.

Passo 7

Agora, voltamos à fórmula original para o custo total:
C = 5000(2 + 5 times 25,6)
Primeiro, multiplicamos 5 por 25,6:
5 times 25,6 = 128
Então:
C = 5000 (2 + 128) = 5000 times 130 = 650.000

Resposta

A alternativa correta é e) 650.000,00.

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