- A cylindrical workpiece is subjected to a cold upset forging operation. The starting piece is 75 mm in height and 50 mm in diameter. It is reduced in the operation to a height of 36 mm . The work material has a flow curve defined by
and
. Assume a coefficient of friction of 0.1 . Determine the force as the process begins, at intermediate heights of 62 mm , 49 mm , and at the final height of 36 mm .
Passo 1
O enunciado dá um peça cilíndrica inicial e pede a força de forjamento nos estados indicados. Vou listar só o que nos foi dado e o que pedem (pequena mastigada para começar sem perder tempo):
-
Geometria inicial:
- altura inicial
. - diâmetro inicial
então raio inicial .
- altura inicial
-
Estados onde querem a força:
- no início:
. - intermediário:
. - intermediário:
. - final:
.
- no início:
-
Propriedades do material (curva de escoamento do tipo potência):
-
. -
.
-
-
Atrito:
- coeficiente de atrito de Coulomb
.
- coeficiente de atrito de Coulomb
O que é pedido: determinar a força de forjamento
nos quatro valores de altura acima.
Passo 2
Estratégia física e fórmulas que vamos usar (com explicação didática curta mas suficiente).
- Conservação de volume (no esmagamento do cilindro, assumindo incompressibilidade plástica): a área da seção aumentará quando a altura diminui. A partir do volume inicial const:
logo
Explicando: quando a peça fica mais baixa (
menor), a seção aumenta para manter o mesmo volume.
- Deformação verdadeira (true strain) acumulada desde o início até a altura
:
Explicando: para redução de comprimento uniaxial, a deformação verdadeira é o logaritmo da razão de comprimentos.
- Curva de escoamento e tensão média. A lei dada é do tipo potência para tensão de escoamento instantânea
. Para calcular a força usamos a tensão média de escoamento entre zero e . Essa tensão média é
Explicando:
é a média da curva
de
a
. Fiz a integral da potência e dividi por o intervalo
.
Observação importante: se
(ou seja
) a expressão dá
. Isso é uma consequência do modelo idealizado (a média no intervalo zero é zero); fisicamente há resistência inicial para iniciar o escoamento, mas o modelo de média do fluxo não prevê carga finita em
. Vou apontar isso no cálculo do caso inicial.
- Força com atrito. Um resultado de solução de limite superior para o esmagamento de um cilindro com atrito de Coulomb dá uma expressão aproximada para a força:
Explicando: o termo
é a força necessária se não houvesse atrito (tensão média vezes área projetada). O fator multiplicador
é um ajuste que representa o trabalho extra devido ao atrito nas superfícies de contato (quanto maior
ou
, maior a contribuição do atrito).
Resumo: para cada altura
calculamos
,
,
e então
pela fórmula acima. Vou calcular passo a passo os valores numéricos.
Passo 3
Cálculo dos parâmetros numéricos que são comuns:
-
, . - Constante para
:
Observação: aqui
.
Passo 4
Caso
(início do processo).
- Deformação verdadeira:
- Tensão média pelo modelo:
- Logo a fórmula prevê
Comentário físico curto e realista: o modelo matemático usado (média da curva potência desde
) dá
para
. Na prática existe uma resistência inicial finita para iniciar o escoamento (força de escoamento), adesão, imperfeições, etc. Mas, dentro do modelo pedido no enunciado, a resposta para o instante inicial é
N. Vou anotar isso e prosseguir com os estados onde há deformação finita.
Passo 5
Caso
.
- Raio atual:
- Deformação verdadeira:
-
:
- Tensão média:
- Área da seção:
- Fator de atrito:
- Força:
Em unidades usuais:
.
Passo 6
Caso
.
- Raio:
- Deformação:
-
:
- Tensão média:
- Área:
- Fator de atrito:
- Força:
ou seja
.
Passo 7
Caso
(final).
- Raio:
- Deformação:
-
:
- Tensão média:
- Área:
- Fator de atrito:
- Força:
ou seja
(ou
, isto é
).
Passo 8
Pequeno resumo interpretativo e dica para prova:
- A fórmula-chave para lembrar é a combinação de tensão média
com a conservação de volume e o fator de atrito . - Se em prova aparecer o caso inicial com
explique que o modelo integral dá zero; comente que isso é uma idealização e que, fisicamente, existe uma força de iniciação do escoamento que não é prevista por essa média — muitos exercícios aceitam a resposta zero no instante inicial, desde que justifique. - Em cálculos sem calculadora faça os passos em ordem: calcule
, depois (usando logaritmos se precisar), depois , depois , depois e por fim o fator de atrito e .