1. A cylindrical workpiece is subjected to a cold upset forging operation. The starting piece is 75 mm in height and 50 mm in diameter. It is reduced in the operation to a height of 36 mm . The work material has a flow curve defined by K=350 \mathrm{MPa} and n=0.17. Assume a coefficient of friction of 0.1 . Determine the force as the process begins, at intermediate heights of 62 mm , 49 mm , and at the final height of 36 mm .

Passo 1

O enunciado dá um peça cilíndrica inicial e pede a força de forjamento nos estados indicados. Vou listar só o que nos foi dado e o que pedem (pequena mastigada para começar sem perder tempo):
  • Geometria inicial:
    • altura inicial h_0=75\\ \text{mm}.
    • diâmetro inicial D_0=50\\ \text{mm} então raio inicial R_0=25\\ \text{mm}.
  • Estados onde querem a força:
    • no início: h=75\\ \text{mm}.
    • intermediário: h=62\\ \text{mm}.
    • intermediário: h=49\\ \text{mm}.
    • final: h=36\\ \text{mm}.
  • Propriedades do material (curva de escoamento do tipo potência):
    • K=350\\ \text{MPa}.
    • n=0{,}17.
  • Atrito:
    • coeficiente de atrito de Coulomb \mu=0{,}10.
O que é pedido: determinar a força de forjamento P nos quatro valores de altura acima.

Passo 2

Estratégia física e fórmulas que vamos usar (com explicação didática curta mas suficiente).
  1. Conservação de volume (no esmagamento do cilindro, assumindo incompressibilidade plástica): a área da seção aumentará quando a altura diminui. A partir do volume inicial const:
\pi R_0^2 h_0 = \pi R^2 h
logo
R = R_0\sqrt{\dfrac{h_0}{h}}.
Explicando: quando a peça fica mais baixa ( h menor), a seção aumenta para manter o mesmo volume.
  1. Deformação verdadeira (true strain) acumulada desde o início até a altura h:
\varepsilon = \ln\!\left(\dfrac{h_0}{h}\right).
Explicando: para redução de comprimento uniaxial, a deformação verdadeira é o logaritmo da razão de comprimentos.
  1. Curva de escoamento e tensão média. A lei dada é do tipo potência para tensão de escoamento instantânea \sigma = K \varepsilon^n. Para calcular a força usamos a tensão média de escoamento entre zero e \varepsilon. Essa tensão média é
\bar{\sigma}=\dfrac{1}{\varepsilon}\int_0^{\varepsilon} K\,\varepsilon'^{\,n}\,d\varepsilon' = \dfrac{K}{n+1}\,\varepsilon^{\,n}.
Explicando: \bar{\sigma} é a média da curva \sigma(\varepsilon') de 0 a \varepsilon. Fiz a integral da potência e dividi por o intervalo \varepsilon.
Observação importante: se \varepsilon=0 (ou seja h=h_0) a expressão dá \bar{\sigma}=0. Isso é uma consequência do modelo idealizado (a média no intervalo zero é zero); fisicamente há resistência inicial para iniciar o escoamento, mas o modelo de média do fluxo não prevê carga finita em \varepsilon=0. Vou apontar isso no cálculo do caso inicial.
  1. Força com atrito. Um resultado de solução de limite superior para o esmagamento de um cilindro com atrito de Coulomb dá uma expressão aproximada para a força:
P = \pi R^2 \,\bar{\sigma}\,\left(1+\dfrac{2\mu h}{3R}\right).
Explicando: o termo \pi R^2\bar{\sigma} é a força necessária se não houvesse atrito (tensão média vezes área projetada). O fator multiplicador \left(1+\dfrac{2\mu h}{3R}\right) é um ajuste que representa o trabalho extra devido ao atrito nas superfícies de contato (quanto maior \mu ou h/R, maior a contribuição do atrito).
Resumo: para cada altura h calculamos R, \varepsilon, \bar{\sigma} e então P pela fórmula acima. Vou calcular passo a passo os valores numéricos.

Passo 3

Cálculo dos parâmetros numéricos que são comuns:
  • R_0=25\\ \text{mm}, h_0=75\\ \text{mm}.
  • Constante para \bar{\sigma}:
\dfrac{K}{n+1}=\dfrac{350\\ \text{MPa}}{1{,}17}=299{,}1453\\ \text{MPa}\\ (\text{aprox.}).
Observação: aqui 1{,}17=n+1.

Passo 4

Caso h=75\\ \text{mm} (início do processo).
  • Deformação verdadeira:
\varepsilon=\ln\!\left(\dfrac{75}{75}\right)=\ln(1)=0.
  • Tensão média pelo modelo:
\bar{\sigma}=\dfrac{K}{n+1}\,\varepsilon^{\,n}=\dfrac{350}{1{,}17}\cdot 0^{\,0{,}17}=0\\ \text{MPa}.
  • Logo a fórmula prevê
P=\pi R^2\bar{\sigma}\left(1+\dfrac{2\mu h}{3R}\right)=0.
Comentário físico curto e realista: o modelo matemático usado (média da curva potência desde \varepsilon=0) dá P=0 para \varepsilon=0. Na prática existe uma resistência inicial finita para iniciar o escoamento (força de escoamento), adesão, imperfeições, etc. Mas, dentro do modelo pedido no enunciado, a resposta para o instante inicial é P=0 N. Vou anotar isso e prosseguir com os estados onde há deformação finita.

Passo 5

Caso h=62\\ \text{mm}.
  1. Raio atual:
R = 25\sqrt{\dfrac{75}{62}} = 25\sqrt{1{,}209677\ldots}=25\cdot 1{,}09985\approx 27{,}496\\ \text{mm}.
  1. Deformação verdadeira:
\varepsilon=\ln\!\left(\dfrac{75}{62}\right)\approx \ln(1{,}209677)=0{,}1909.
  1. \varepsilon^{\,n}:
\varepsilon^{\,n} = (0{,}1909)^{0{,}17} \approx 0{,}7546.
  1. Tensão média:
\bar{\sigma}=\dfrac{350}{1{,}17}\cdot 0{,}7546 \approx 299{,}1453\cdot 0{,}7546 \approx 225{,}6\\ \text{MPa}.
  1. Área da seção:
A=\pi R^2 = \pi (27{,}496)^2 \approx 2{,}376{,}1\\ \text{mm}^2.
  1. Fator de atrito:
1+\dfrac{2\mu h}{3R}=1+\dfrac{2\cdot 0{,}10\cdot 62}{3\cdot 27{,}496} =1+0{,}1503\approx 1{,}1503.
  1. Força:
P = A\bar{\sigma}\left(1+\dfrac{2\mu h}{3R}\right) \approx 2{,}376{,}1\cdot 225{,}6\cdot 1{,}1503 \approx 6{,}17\times 10^{5}\\ \text{N}.
Em unidades usuais: P\approx 617\\ \text{kN}.

Passo 6

Caso h=49\\ \text{mm}.
  1. Raio:
R=25\sqrt{\dfrac{75}{49}}=25\sqrt{1{,}530612}\approx 25\cdot 1{,}2371\approx 30{,}927\\ \text{mm}.
  1. Deformação:
\varepsilon=\ln\!\left(\dfrac{75}{49}\right)\approx \ln(1{,}530612)=0{,}4249.
  1. \varepsilon^{\,n}:
(0{,}4249)^{0{,}17}\approx 0{,}8646.
  1. Tensão média:
\bar{\sigma}=299{,}1453\cdot 0{,}8646\approx 258{,}6\\ \text{MPa}.
  1. Área:
A=\pi (30{,}927)^2 \approx 3{,}006{,}6\\ \text{mm}^2.
  1. Fator de atrito:
1+\dfrac{2\cdot 0{,}10\cdot 49}{3\cdot 30{,}927}=1+0{,}1056\approx 1{,}1056.
  1. Força:
P \approx 3{,}006{,}6\cdot 258{,}6\cdot 1{,}1056 \approx 8{,}60\times 10^{5}\\ \text{N},
ou seja P\approx 860\\ \text{kN}.

Passo 7

Caso h=36\\ \text{mm} (final).
  1. Raio:
R=25\sqrt{\dfrac{75}{36}}=25\sqrt{2{,}083333}\approx 25\cdot 1{,}443375\approx 36{,}084\\ \text{mm}.
  1. Deformação:
\varepsilon=\ln\!\left(\dfrac{75}{36}\right)\approx \ln(2{,}083333)=0{,}7340.
  1. \varepsilon^{\,n}:
(0{,}7340)^{0{,}17}\approx 0{,}9488.
  1. Tensão média:
\bar{\sigma}=299{,}1453\cdot 0{,}9488\approx 283{,}8\\ \text{MPa}.
  1. Área:
A=\pi (36{,}084)^2 \approx 4{,}090{,}9\\ \text{mm}^2.
  1. Fator de atrito:
1+\dfrac{2\cdot 0{,}10\cdot 36}{3\cdot 36{,}084}=1+0{,}0666\approx 1{,}0666.
  1. Força:
P \approx 4{,}090{,}9\cdot 283{,}8\cdot 1{,}0666 \approx 1{,}238\times 10^{6}\\ \text{N},
ou seja P\approx 1{,}238\\ \text{MN} (ou 1{,}238\times 10^{3}\\ \text{kN}, isto é 1238\\ \text{kN}).

Passo 8

Pequeno resumo interpretativo e dica para prova:
  • A fórmula-chave para lembrar é a combinação de tensão média \bar{\sigma}=\dfrac{K}{n+1}\varepsilon^{n} com a conservação de volume R=R_0\sqrt{h_0/h} e o fator de atrito \left(1+\dfrac{2\mu h}{3R}\right).
  • Se em prova aparecer o caso inicial com \varepsilon=0 explique que o modelo integral dá zero; comente que isso é uma idealização e que, fisicamente, existe uma força de iniciação do escoamento que não é prevista por essa média — muitos exercícios aceitam a resposta zero no instante inicial, desde que justifique.
  • Em cálculos sem calculadora faça os passos em ordem: calcule \varepsilon, depois \varepsilon^n (usando logaritmos se precisar), depois \bar{\sigma}, depois R, depois A e por fim o fator de atrito e P.

Resposta

h=75\\ \text{mm}:\\ P=0\\ \text{N}
h=62\\ \text{mm}:\\ P\approx 6{,}17\times 10^{5}\\ \text{N} ( \approx 617\\ \text{kN})
h=49\\ \text{mm}:\\ P\approx 8{,}60\times 10^{5}\\ \text{N} ( \approx 860\\ \text{kN})
h=36\\ \text{mm}:\\ P\approx 1{,}238\times 10^{6}\\ \text{N} ( \approx 1238\\ \text{kN})

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