P12.83 A viga W310 × 67 simplesmente apoiada é feita de aço A-36 e está sujeita ao carregamento mostrado. Determine a deflexão em seu centro
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura dão (peguei estes números da imagem).
- Viga simplesmente apoiada com vão total
. - Há um carregamento concentrado no meio:
aplicado em (em ). - Há um momento concentrado em
(extremidade esquerda) de magnitude (sentido indicado na figura). - A viga é de aço A-36 (usar
quando necessário).
O que o enunciado pede: - Determinar a deflexão vertical em
(centro do vão).
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática).
- Vou usar o método do trabalho virtual (método da carga unitária / energia de deformação), que é muito prático para achar deflexões em vigas: coloca-se uma carga unitária na posição onde se quer a deflexão e calcula-se o trabalho interno por integração dos momentos.
- Fórmula básica do método (forma que vou usar):
onde:
-
é o momento fletor interno causado pelos carregamentos reais (aqui: no centro e em ); -
é o momento fletor interno causado pela carga unitária aplicada no ponto (virtual load de 1 kN para direção do deslocamento desejado); -
é o módulo de elasticidade do material; -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (eixo forte). - Observação pedagógica: essa fórmula resulta da expressão da energia de deformação
e do teorema de Castigliano; operacionalmente requer apenas conhecer e e integrar o produto.
Passo 3
Equilíbrio estático (reações) para os carregamentos reais.
- Para os carregamentos reais (
em e em ), determinam-se as reações verticais e a partir de:
- Substituindo
, , :
- Comentário: sinais positivos indicam reação para cima; valores podem ser interpretados diretamente.
Passo 4
Expressão do momento fletor
(carregamentos reais), peça por peça.
- Para
(trecho esquerdo até o ponto de aplicação de ): - O momento devido às reações e ao momento em
é
Substituindo os valores numéricos: - O momento devido às reações e ao momento em
- Para
(trecho à direita do ponto de carga ): - O momento também inclui o efeito do carregamento
(subtrai ):
Substituindo e : Simplificando: - O momento também inclui o efeito do carregamento
Passo 5
Expressão do momento virtual
para a carga unitária em
(posição
).
- Coloca-se uma carga virtual de
para baixo em . Reações virtuais são simétricas por simetria:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Cálculo da integral
(fazer por partes:
e
).
- Para
: Integrando de a : (Unidade: .) - Para
: Expandindo: Integrando de a : - Soma total da integral:
(Unidade: .)
Passo 7
Aplicar a fórmula da deflexão e substituir
e
.
- Fórmula:
- Converter
para unidades compatíveis (usando kN e m):
- Agora precisamos do momento de inércia
da seção W310×67. Esse valor é normalmente obtido em tabelas de perfis de aço (AISC/CSA). Usando o valor tabelado (valor aproximado de referência)
- Calcular
:
- Portanto a deflexão:
Passo 8
Interpretação e observações finais (didática rápida).
- Resultado:
para a direção para baixo (deflexão negativa no sentido da carga). - Observação importante: se usar um valor ligeiramente diferente de
(dependendo da tabela de perfis consultada ou se a notação do perfil for outra), o resultado escala inversamente com . A expressão exata obtida foi
logo basta substituir o
correto da tabela para obter o valor numérico preciso.
- Dica para prova: memorize a estratégia (usar carga unitária + obter
real e virtual, integrar produto) e pratique com alguns exemplos (carga concentrada, momento concentrado, carregamento distribuído) — a mecânica algébrica é sempre parecida: montar , montar , integrar.