P12.83 A viga W310 × 67 simplesmente apoiada é feita de aço A-36 e está sujeita ao carregamento mostrado. Determine a deflexão em seu centro C.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura dão (peguei estes números da imagem).
  • Viga simplesmente apoiada com vão total L=8\\ \mathrm{m}.
  • Há um carregamento concentrado no meio: P=60\\ \mathrm{kN} aplicado em C (em x=L/2=4\\ \mathrm{m}).
  • Há um momento concentrado em A (extremidade esquerda) de magnitude M_0=75\\ \mathrm{kN\cdot m} (sentido indicado na figura).
  • A viga é de aço A-36 (usar E\approx200{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N/m^2} quando necessário).
    O que o enunciado pede:
  • Determinar a deflexão vertical em C (centro do vão).

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática).
  • Vou usar o método do trabalho virtual (método da carga unitária / energia de deformação), que é muito prático para achar deflexões em vigas: coloca-se uma carga unitária na posição onde se quer a deflexão e calcula-se o trabalho interno por integração dos momentos.
  • Fórmula básica do método (forma que vou usar):
\delta_C=\int_{0}^{L}\frac{M(x)\,m(x)}{E\,I}\,dx,
onde:
  • M(x) é o momento fletor interno causado pelos carregamentos reais (aqui: P no centro e M_0 em A);
  • m(x) é o momento fletor interno causado pela carga unitária aplicada no ponto C (virtual load de 1 kN para direção do deslocamento desejado);
  • E é o módulo de elasticidade do material;
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (eixo forte).
  • Observação pedagógica: essa fórmula resulta da expressão da energia de deformação \tfrac{1}{2}\int \tfrac{M^2}{EI}\,dx e do teorema de Castigliano; operacionalmente requer apenas conhecer M(x) e m(x) e integrar o produto.

Passo 3

Equilíbrio estático (reações) para os carregamentos reais.
  • Para os carregamentos reais ( P em x=4\\ \mathrm{m} e M_0 em x=0 ), determinam-se as reações verticais R_A e R_B a partir de:
\sum F_y: \quad R_A+R_B=P.
\sum M_A: \quad R_B L - P\cdot\frac{L}{2} - M_0=0.
  • Substituindo L=8\\ \mathrm{m}, P=60\\ \mathrm{kN}, M_0=75\\ \mathrm{kN\cdot m}:
R_B=\frac{P\cdot\frac{L}{2}+M_0}{L}=\frac{60\cdot4+75}{8}=30+9{,}375=39{,}375\\ \mathrm{kN},
R_A=P-R_B=60-39{,}375=20{,}625\\ \mathrm{kN}.
  • Comentário: sinais positivos indicam reação para cima; valores podem ser interpretados diretamente.

Passo 4

Expressão do momento fletor M(x) (carregamentos reais), peça por peça.
  • Para 0\le x\le 4 (trecho esquerdo até o ponto de aplicação de P):
    • O momento devido às reações e ao momento em A é
    M(x)=R_A\,x + M_0.Substituindo os valores numéricos: M(x)=20{,}625\,x + 75\qquad (\text{unidades: }\mathrm{kN\cdot m},\\ x\\ \text{em m}).
  • Para 4\le x\le 8 (trecho à direita do ponto de carga P):
    • O momento também inclui o efeito do carregamento P (subtrai P(x-4)):
    M(x)=R_A\,x - P(x-4) + M_0.Substituindo R_A e P: M(x)=20{,}625\,x - 60(x-4) + 75.Simplificando: M(x)=(-39{,}375)\,x + 315\qquad\text{para }4\le x\le 8.

Passo 5

Expressão do momento virtual m(x) para a carga unitária em C (posição x=4\\ \mathrm{m}).
  • Coloca-se uma carga virtual de 1\\ \mathrm{kN} para baixo em x=4\\ \mathrm{m}. Reações virtuais são simétricas por simetria:
R_A' = R_B' = \tfrac{1}{2}\\ \mathrm{kN}.
  • Para 0\le x\le 4:
m(x)=R_A'\,x=\tfrac{1}{2}\,x.
  • Para 4\le x\le 8:
m(x)=R_A'\,x - 1\cdot(x-4)=\tfrac{1}{2}x - (x-4) = -\tfrac{1}{2}x +4.

Passo 6

Cálculo da integral \displaystyle\int_0^L M(x)\,m(x)\,dx (fazer por partes: 0\rightarrow4 e 4\rightarrow8).
  • Para 0\le x\le4: M(x)\,m(x)=(20{,}625x+75)\cdot\left(\tfrac{1}{2}x\right) =10{,}3125\,x^2 +37{,}5\,x.Integrando de 0 a 4: I_1=\int_0^{4}\bigl(10{,}3125x^2+37{,}5x\bigr)\,dx =10{,}3125\cdot\frac{4^3}{3}+37{,}5\cdot\frac{4^2}{2}=220+300=520.(Unidade: \mathrm{kN}^2\!\cdot\mathrm{m}^3.)
  • Para 4\le x\le8: M(x)\,m(x)=\bigl(-39{,}375x+315\bigr)\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}x+4\bigr).Expandindo: M(x)\,m(x)=19{,}6875\,x^2 -315\,x +1260.Integrando de 4 a 8: I_2=\int_4^{8}\bigl(19{,}6875x^2 -315x +1260\bigr)\,dx =2940-7560+5040=420.
  • Soma total da integral: \int_0^{8}M(x)\,m(x)\,dx = I_1+I_2 = 520+420 = 940.(Unidade: \mathrm{kN}^2\!\cdot\mathrm{m}^3.)

Passo 7

Aplicar a fórmula da deflexão e substituir E e I.
  • Fórmula:
\delta_C=\frac{1}{E\,I}\int_0^{L}M(x)\,m(x)\,dx=\frac{940}{E\,I}.
  • Converter E para unidades compatíveis (usando kN e m):
E=200{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N/m^2}=200{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{kN/m^2}.
  • Agora precisamos do momento de inércia I da seção W310×67. Esse valor é normalmente obtido em tabelas de perfis de aço (AISC/CSA). Usando o valor tabelado (valor aproximado de referência)
I=2{,}69\times10^{-4}\\ \mathrm{m^4}\quad(\text{valor tabelado para W310}\times67).
  • Calcular E\,I:
E\,I = 200{,}0\times10^{6}\times 2{,}69\times10^{-4} = 53{,}800\\ \mathrm{kN\cdot m^2}.
  • Portanto a deflexão:
\delta_C=\frac{940}{53{,}800}=0{,}01747\\ \mathrm{m}\approx 17{,}5\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Interpretação e observações finais (didática rápida).
  • Resultado: \delta_C\approx0{,}0175\\ \mathrm{m} para a direção para baixo (deflexão negativa no sentido da carga).
  • Observação importante: se usar um valor ligeiramente diferente de I (dependendo da tabela de perfis consultada ou se a notação do perfil for outra), o resultado escala inversamente com I. A expressão exata obtida foi
\delta_C=\frac{940}{E\,I},
logo basta substituir o I correto da tabela para obter o valor numérico preciso.
  • Dica para prova: memorize a estratégia (usar carga unitária + obter M(x) real e virtual, integrar produto) e pratique com alguns exemplos (carga concentrada, momento concentrado, carregamento distribuído) — a mecânica algébrica é sempre parecida: montar M, montar m, integrar.

Resposta

\delta_C=0{,}01747\\ \mathrm{m}\approx 17{,}5\\ \mathrm{mm}

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