(d) Se W é um subespaço de R^5 e se V1, V2 e V3 são vetores LI em W, o que podemos dizer sobre dim(W) ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está nos perguntando. Temos um subespaço de e três vetores e que são linearmente independentes dentro desse subespaço. Nosso objetivo é descobrir o que isso nos diz sobre a dimensão de , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Isso significa que esses vetores adicionam “informação nova” ao conjunto.

Passo 3

Sabemos que o subespaço está dentro de , então a dimensão máxima de pode ser 5. Porém, já temos três vetores que são linearmente independentes em , o que nos diz que a dimensão de precisa ser pelo menos 3, pois não pode ser menor que o número de vetores linearmente independentes que contém.

Passo 4

Em outras palavras, se em conseguimos encontrar três vetores que não estão “de acordo” entre si (não dependentes), então a dimensão de não pode ser menor que 3. Isso porque a dimensão de um espaço vetorial é o número máximo de vetores linearmente independentes que ele pode ter.

Passo 5

Assim, concluímos que a dimensão de é pelo menos 3. Ou seja, .

Resposta

A dimensão de é pelo menos 3, isto é, .

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