Se d1= 3i-2j+4k e d2= -5i+2j-k, determine (d1+d2). (d1×4d2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o produto escalar de (d₁ + d₂) com (d₁ × 4d₂). Estamos trabalhando com vetores e precisamos usar operações de adição, multiplicação por escalar, produto vetorial e produto escalar. Vamos precisar lembrar como somar vetores, multiplicar um vetor por um escalar, calcular o produto vetorial e, por fim, o produto escalar entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos somar os vetores d₁ e d₂. Os vetores são:
d₁ = 3i - 2j + 4k
d₂ = -5i + 2j - k
Para somar dois vetores, somamos as componentes correspondentes:
d₁ + d₂ = (3 + (-5))i + (-2 + 2)j + (4 + (-1))k
d₁ + d₂ = -2i + 0j + 3k
Então, d₁ + d₂ = -2i + 3k

Passo 3

Agora, vamos calcular 4d₂, que é o vetor d₂ multiplicado por 4:
4d₂ = 4*(-5i + 2j - k)
4d₂ = -20i + 8j - 4k

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o produto vetorial de d₁ com 4d₂, ou seja, d₁ × 4d₂. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais. Vamos usar a regra do determinante para calcular isso:
d₁ = 3i - 2j + 4k
4d₂ = -20i + 8j - 4k
O determinante fica assim:
|i  j  k|
|3  -2  4|
|-20 8 -4|
Calculando o determinante:
i * [(-2)(-4) - (4)(8)] - j * [(3)(-4) - (4)(-20)] + k * [(3)(8) - (-2)(-20)]
i * [8 - 32] - j * [-12 + 80] + k * [24 - 40]
i * (-24) - j * (68) + k * (-16)
Então, d₁ × 4d₂ = -24i - 68j - 16k

Passo 5

Agora, temos d₁ + d₂ = -2i + 3k e d₁ × 4d₂ = -24i - 68j - 16k. Vamos calcular o produto escalar entre esses dois vetores. O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos das componentes correspondentes:
(d₁ + d₂) • (d₁ × 4d₂) = (-2)(-24) + (0)(-68) + (3)*(-16)
= 48 + 0 - 48
= 0

Resposta

O valor de (d₁ + d₂) • (d₁ × 4d₂) é 0.

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