Dada uma distribuição contínua de carga de densidade , o campo eletrostático é dado pela equação de Poisson: , ou,
Por outro lado, para uma carga puntiforme localizada na posição , o potencial é dado por:
Onde, nabla^2 1|r-r^prime|=-4 pi de
Usando o fato de que varphi(r) é conhecido, utilize a segunda identidade de Green para derivar a expressão: theta(r)=14 pi varepsilon0 integral tripla rho(r^prime)|r-r^prime| d V^prime+14 pi integral dupla[1|r-r^prime| nabla varnothing-varnothing nabla(1|r-r^prime|)] cdot d S^prime
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição contínua de carga com densidade rho(r) e queremos relacionar isso com o potencial eletrostático usando a equação de Poisson. Para resolver isso, vamos usar a segunda identidade de Green, que nos ajuda a lidar com equações diferenciais como a de Poisson. Vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial e potenciais eletrostáticos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Poisson para o potencial eletrostático theta(r):
nabla^2 theta = -rhovarepsilon0
Aqui, nabla^2 é o operador laplaciano, que mede como a função theta se comporta no espaço, rho é a densidade de carga, e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Sabemos que para uma carga pontual q localizada em r', o potencial varphi(r) é dado por:
varphi(r) = q4 pi varepsilon0 |r - r^prime|
Isso nos diz como o potencial se comporta em relação a uma carga isolada. Também sabemos que:
nabla^2 varphi = -qvarepsilon0 de
Onde de é a função delta de Dirac, que é zero em todos os lugares exceto em r = r'.
Passo 4
A segunda identidade de Green nos diz que, para duas funções escalares f e g, temos:
integral triplaV ( f nabla^2 g - g nabla^2 f ) dV = integral duplaS ( f nabla g - g nabla f ) cdot dS
Vamos aplicar essa identidade com f = theta(r) e g = 1|r - r^prime|.
Sabemos que nabla^2 theta = -rhovarepsilon0 e nabla^2 (1|r - r^prime|) = -4pi de. Substituindo essas expressões, obtemos:
integral triplaV ( theta (-4pi de
Passo 7
Simplificando o lado esquerdo da equação:
-4pi theta(r') + 1varepsilon0 integral triplaV rho(r')|r - r^prime| dV = integral duplaS ( theta nabla (1|r - r^prime|) - 1|r - r^prime| nabla theta ) cdot dS
Passo 8
Rearranjando os termos para isolar theta(r):
theta(r) = 14 pi varepsilon0 integral triplaV rho(r')|r - r^prime| dV' + 14 pi integral duplaS ( 1|r - r^prime| nabla theta - theta nabla (1|r - r^prime|) ) cdot dS'
Passo 9
Identificamos que nabla theta é igual a -E, onde E é o campo elétrico. Substituindo isso na equação, temos:
theta(r) = 14 pi varepsilon0 integral triplaV rho(r')|r - r^prime| dV' + 14 pi integral duplaS [ 1|r - r^prime| (-E) - theta nabla (1|r - r^prime|) ] cdot dS'
Passo 10
Finalmente, reconhecemos que o potencial total theta(r) é composto pela contribuição do volume onde está a carga e pelas contribuições das superfícies. Arrumando os termos, obtemos a expressão desejada:
theta(r) = 14 pi varepsilon0 integral tripla rho(r^prime)|r - r^prime| d V^prime + 14 pi integral dupla [ 1|r - r^prime| nabla varphi - varphi nabla (1|r - r^prime|) ] cdot d S^prime
Resposta
Assim, derivamos que o potencial eletrostático theta(r) é dado por:
theta(r) = 14 pi varepsilon0 integral tripla rho(r^prime)|r - r^prime| d V^prime + 14 pi integral dupla [ 1|r - r^prime| nabla varphi - varphi nabla (1|r - r^prime|) ] cdot d S^prime