Dada equação diferencial
, sendo
, ao analisar as afirmações das sentenças abaixo.
I. A equação diferencial não é ordinária e de primeira ordem.
II. A equação diferencial é ordinária de primeira ordem.
III. A equação diferencial é ordinária de segunda ordem.
IV. A equação diferencial é ordinária não-linear.
V. A equação diferencial é ordinária e linear.
I. A equação diferencial não é ordinária e de primeira ordem.
II. A equação diferencial é ordinária de primeira ordem.
III. A equação diferencial é ordinária de segunda ordem.
IV. A equação diferencial é ordinária não-linear.
V. A equação diferencial é ordinária e linear.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
onde
é função de
(isto é,
). Precisa-se analisar as sentenças I–V e decidir quais são verdadeiras ou falsas:
I. A equação diferencial não é ordinária e de primeira ordem.
II. A equação diferencial é ordinária de primeira ordem.
III. A equação diferencial é ordinária de segunda ordem.
IV. A equação diferencial é ordinária não-linear.
V. A equação diferencial é ordinária e linear.
I. A equação diferencial não é ordinária e de primeira ordem.
II. A equação diferencial é ordinária de primeira ordem.
III. A equação diferencial é ordinária de segunda ordem.
IV. A equação diferencial é ordinária não-linear.
V. A equação diferencial é ordinária e linear.
Passo 2
Colocar a equação numa forma que mostre explicitamente derivadas em relação a
. Dividindo ambos os lados por
(assumindo
) obtemos uma equação envolvendo
:
Isto é só reescrever a equação diferencial diferencialmente: o termo com
virou
multiplicado por
.
Passo 3
Decidir se é “ordinária” ou “parcial”. Definição curta e intuitiva: uma equação diferencial é ordinária quando envolve derivadas em relação a uma única variável independente (aqui
); é parcial quando aparecem derivadas parciais em relação a mais de uma variável independente. Na forma que encontramos só aparece
(derivada em relação a uma única variável). Logo a equação é uma equação diferencial ordinária. Isso responde a parte de “ordinária” das sentenças.
Passo 4
Determinar a ordem da equação. Regra: a ordem é a ordem da maior derivada que aparece. Aqui a maior (e única) derivada que aparece é
, que é de primeira ordem. Portanto a equação é de primeira ordem, e não de segunda ordem.
Passo 5
Analisar linearidade. Lembrete prático: uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é linear se puder ser escrita na forma padrão
onde
e
dependem só de
(não de
). A equação que temos pode ser reescrita isolando termos dependentes de
. A partir de
podemos separar os termos em potências de
:
Aqui aparece um termo
contendo
. A presença de uma potência de
maior que
(ou, em geral, qualquer termo não linear em
ou em
) caracteriza a equação como não-linear. Logo a equação não é linear na forma padrão; ela é não-linear.
Passo 6
Resumo lógico das sentenças com base nas conclusões anteriores:
- A equação é ordinária (verdade).
- A equação é de primeira ordem (verdade).
- A equação não é de segunda ordem (falso).
- A equação é não-linear (verdade).
- A equação não é linear (falso).
Resposta
I. Falsa
II. Verdadeira
III. Falsa
IV. Verdadeira
V. Falsa
II. Verdadeira
III. Falsa
IV. Verdadeira
V. Falsa