Dada equação diferencial \left(2 x y-y^{2}\right) d x+e^{x} d y=0, sendo y(x), ao analisar as afirmações das sentenças abaixo.
I. A equação diferencial não é ordinária e de primeira ordem.
II. A equação diferencial é ordinária de primeira ordem.
III. A equação diferencial é ordinária de segunda ordem.
IV. A equação diferencial é ordinária não-linear.
V. A equação diferencial é ordinária e linear.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
(2 x y - y^{2})\,dx + e^{x}\,dy = 0,
onde y é função de x (isto é, y=y(x)). Precisa-se analisar as sentenças I–V e decidir quais são verdadeiras ou falsas:
I. A equação diferencial não é ordinária e de primeira ordem.
II. A equação diferencial é ordinária de primeira ordem.
III. A equação diferencial é ordinária de segunda ordem.
IV. A equação diferencial é ordinária não-linear.
V. A equação diferencial é ordinária e linear.

Passo 2

Colocar a equação numa forma que mostre explicitamente derivadas em relação a x. Dividindo ambos os lados por dx (assumindo dx\neq0) obtemos uma equação envolvendo \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{2 x y - y^{2}}{e^{x}}.
Isto é só reescrever a equação diferencial diferencialmente: o termo com dy virou \dfrac{dy}{dx} multiplicado por dx.

Passo 3

Decidir se é “ordinária” ou “parcial”. Definição curta e intuitiva: uma equação diferencial é ordinária quando envolve derivadas em relação a uma única variável independente (aqui x); é parcial quando aparecem derivadas parciais em relação a mais de uma variável independente. Na forma que encontramos só aparece \dfrac{dy}{dx} (derivada em relação a uma única variável). Logo a equação é uma equação diferencial ordinária. Isso responde a parte de “ordinária” das sentenças.

Passo 4

Determinar a ordem da equação. Regra: a ordem é a ordem da maior derivada que aparece. Aqui a maior (e única) derivada que aparece é \dfrac{dy}{dx}, que é de primeira ordem. Portanto a equação é de primeira ordem, e não de segunda ordem.

Passo 5

Analisar linearidade. Lembrete prático: uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é linear se puder ser escrita na forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
onde P(x) e Q(x) dependem só de x (não de y). A equação que temos pode ser reescrita isolando termos dependentes de y. A partir de
\frac{dy}{dx} = -\frac{2 x y - y^{2}}{e^{x}},
podemos separar os termos em potências de y:
\frac{dy}{dx} = -2x e^{-x}\,y + e^{-x}\,y^{2}.
Aqui aparece um termo e^{-x}\,y^{2} contendo y^{2}. A presença de uma potência de y maior que 1 (ou, em geral, qualquer termo não linear em y ou em \dfrac{dy}{dx}) caracteriza a equação como não-linear. Logo a equação não é linear na forma padrão; ela é não-linear.

Passo 6

Resumo lógico das sentenças com base nas conclusões anteriores:
  • A equação é ordinária (verdade).
  • A equação é de primeira ordem (verdade).
  • A equação não é de segunda ordem (falso).
  • A equação é não-linear (verdade).
  • A equação não é linear (falso).

Resposta

I. Falsa
II. Verdadeira
III. Falsa
IV. Verdadeira
V. Falsa