Dada a equação dimensionalmente homogênea:
onde
é a pressão,
é a quantidade de movimento,
é a base dos logaritmos neperianos, determinar as dimensões das grandezas
,
e
em relação ao SI.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede: temos a equação
onde
-
é pressão, -
é quantidade de movimento, -
é a base dos logaritmos neperianos.
A ideia é descobrir as dimensões (no SI) de
,
e
. Para isso a gente vai usar análise dimensional, lembrando que:
- Todos os termos que somamos numa equação devem ter a mesma dimensão.
- O argumento de uma exponencial precisa ser adimensional (senão não “bate”).
Passo 2
Olha só: o expoente é
. Como
aparece no numerador e no denominador, ele se anula e sobra só
. Portanto
Para o exponencial
fazer sentido (isto é, ser adimensional),
tem que ser um número sem unidade. Conclusão:
não carrega dimensão nenhuma — é só um fator multiplicativo.
Passo 3
Pela regra de homogeneidade, o termo
e o termo
têm que “dar a mesma” dimensão do lado esquerdo, que é
. Como a parte exponencial é adimensional, a dimensão de
vem da dimensão de
. E, claro,
tem que ter a mesma dimensão de
.
Passo 4
Agora vamos às grandezas:
-
Pressão
: -
Quantidade de movimento
:
Multiplicando
e
:
Passo 5
Pronto! Como
, fica
E
soma com esse termo, então também tem que ser