Dada a equação dimensionalmente homogênea:
A=BCe^gff+E
onde B é a pressão, C é a quantidade de movimento, e é a base dos logaritmos neperianos, determinar as dimensões das grandezas A, B e E em relação ao SI.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede: temos a equação
A = B,C,e^g ff + E
onde
  • é pressão,
  • é quantidade de movimento,
  • é a base dos logaritmos neperianos.
A ideia é descobrir as dimensões (no SI) de , e . Para isso a gente vai usar análise dimensional, lembrando que:
  1. Todos os termos que somamos numa equação devem ter a mesma dimensão.
  2. O argumento de uma exponencial precisa ser adimensional (senão não “bate”).

Passo 2

Olha só: o expoente é g,ff = g . Como aparece no numerador e no denominador, ele se anula e sobra só . Portanto
Para o exponencial fazer sentido (isto é, ser adimensional), tem que ser um número sem unidade. Conclusão:
não carrega dimensão nenhuma — é só um fator multiplicativo.

Passo 3

Pela regra de homogeneidade, o termo e o termo têm que “dar a mesma” dimensão do lado esquerdo, que é . Como a parte exponencial é adimensional, a dimensão de vem da dimensão de . E, claro, tem que ter a mesma dimensão de .

Passo 4

Agora vamos às grandezas:
  1. Pressão [B] = Pascal (Pa) = Newtonm^2 = kg·m/s^2m^2 = kg·m^-1·s^-2 = M,L^-1,T^-2 :
    [C] = kg·m/s = M,L,T^-1
  2. Quantidade de movimento [B][C] = (M,L^-1,T^-2),(M,L,T^-1) = M^2,L^(-1+1),T^(-2-1) = M^2,L^0,T^-3 = M^2,T^-3 :
Multiplicando e :

Passo 5

Pronto! Como [A] = M^2,T^-3 , fica
E soma com esse termo, então também tem que ser

Resposta

[A] = M^2,T^-3, [B] = M,L^-1,T^-2, [E] = M^2,T^-3

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