Resolva os itens abaixo.
a) Mostre que as equações diferenciais
4 d i1d t+8 dd t(ig-i2)+20(i1-i2)+5(i1-ig)=0 20(i2-i1)+60 i2+16 dd t(i2-ig)-8 d i1d t=0
podem ser rearranjadas da seguinte forma:
& 4 d i1d t+25 i1-8 d i2d t-20 i2=5 ig-8 d igd t & -8 d i1d t-20 i1+16 d i2d t+80 i2=16 d igd t

Passo 1

Então, o enunciado pede para mostrar que estas duas equações diferenciais
4 ,d i1d t+8,dd tl(ig-i2r)+20,(i1-i2)+5,(i1-ig)=0,[6pt] 20,(i2-i1)+60,i2+16,dd tl(i2-igr)-8,d i1d t=0
virem exatamente
&4,d i1d t+25,i1-8,d i2d t-20,i2=5,ig-8,d igd t, &-8,d i1d t-20,i1+16,d i2d t+80,i2=16,d igd t
Matéria: manipulação algébrica de equações diferenciais.
O que vamos usar:
  1. A propriedade da derivada de diferença, ddt(A-B)=dAdt-dBdt
    2) Expandir parênteses e agrupar termos “iguais” (mesmos , , derivadas, etc.).

Passo 2

Vamos pegar a primeira equação e abrir tudo:
4,d i1d t +8gl(d igd t-d i2d tgr) +20,i1-20,i2 +5,i1-5,ig =0
Agora, somamos os termos semelhantes:
  • Os termos com 4,d i1d t -8,d i2d t +8,d igd t +25,i1 -20,i2 -5,ig =0 : 4,d i1d t -8,d i2d t +25,i1 -20,i2 ;=; 5,ig -8,d igd t, .
  • Os termos com : .
  • Os termos com : .
  • Os termos com : .
  • Os termos com : .
  • Os termos com : .
Então a equação vira
Finalmente, a gente passa os termos que têm e para o outro lado do “=0”, trocando sinal:
que é exatamente o primeiro alvo.

Passo 3

Agora a segunda equação. Começamos assim:
20,(i2-i1) +60,i2 +16l(tfracd i2d t-tfracd igd tr) -8,d i1d t =0
Expandindo e agrupando:
  • -8,d i1d t +16,d i2d t -16,d igd t -20,i1 +80,i2 =0
  • -8,d i1d t +16,d i2d t -20,i1 +80,i2 ;=; 16,d igd t,
Fica
Passamos o termo com para o outro lado:
que é o segundo alvo.

Resposta

As equações reorganizadas são
&4,d i1d t+25,i1-8,d i2d t-20,i2 ;=; 5,ig-8,d igd t, &-8,d i1d t-20,i1+16,d i2d t+80,i2 ;=; 16,d igd t

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