Dada a equação da esfera
determine o centro e o raio.
Passo 1
O enunciado dá a equação da esfera
e pede para determinar o centro e o raio.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Os termos quadráticos são
. - Os termos lineares são
. - A constante independente é
. - Objetivo: escrever a equação na forma padrão de uma esfera e ler o centro e o raio a partir dela.
Passo 2
Lembrete didático: a forma padrão (canônica) de uma esfera com centro em
e raio
é
Para passar da equação geral para a forma padrão usa-se completar o quadrado em cada variável. A ideia de completar o quadrado para uma expressão do tipo
é acrescentar e subtrair
de modo a formar
. Vou aplicar isso separadamente a
,
e
.
Passo 3
Agrupo os termos por variável e preparo para completar o quadrado:
Agora, para cada grupo:
- Para
: o coeficiente linear é . Metade é e o quadrado é . Então
- Para
: o coeficiente linear é . Metade é e o quadrado é . Então
- Para
: o coeficiente linear é . Metade é e o quadrado é . Então
Passo 4
Adiciono os termos que completei os quadrados, mas mantendo a igualdade (ou seja, adiciono e subtraio os mesmos valores). Escrevo a equação original reagrupada com os complementos:
Somando os números
obtemos
. Portanto
Calculo
, então
Passo o
para o outro lado:
Passo 5
Interpretação final: a equação está agora na forma padrão
com
Logo o centro é
e o raio é
.
Passo 6
Dica prática para a prova (resumindo o truque): ao ver
, o centro costuma ser
e o raio obtém-se completando os quadrados e calculando
(constante positiva resultante). Isso evita muita escrita: aqui
,
,
.
Resposta
Centro:
Raio:
Raio: