Dada a equação da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}-8 x+6 y-10 z+14=0 determine o centro e o raio.

Passo 1

O enunciado dá a equação da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}-8x+6y-10z+14=0
e pede para determinar o centro e o raio.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os termos quadráticos são \,x^{2},y^{2},z^{2}\,.
  • Os termos lineares são -8x,\;6y,\;-10z.
  • A constante independente é 14.
  • Objetivo: escrever a equação na forma padrão de uma esfera e ler o centro e o raio a partir dela.

Passo 2

Lembrete didático: a forma padrão (canônica) de uma esfera com centro em (a,b,c) e raio r é
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}.
Para passar da equação geral para a forma padrão usa-se completar o quadrado em cada variável. A ideia de completar o quadrado para uma expressão do tipo x^{2}+Bx é acrescentar e subtrair \left(\dfrac{B}{2}\right)^{2} de modo a formar (x+\dfrac{B}{2})^{2}. Vou aplicar isso separadamente a x, y e z.

Passo 3

Agrupo os termos por variável e preparo para completar o quadrado:
x^{2}-8x \quad,\quad y^{2}+6y \quad,\quad z^{2}-10z.
Agora, para cada grupo:
  • Para x^{2}-8x: o coeficiente linear é -8. Metade é -4 e o quadrado é 16. Então
x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}.
  • Para y^{2}+6y: o coeficiente linear é 6. Metade é 3 e o quadrado é 9. Então
y^{2}+6y+9=(y+3)^{2}.
  • Para z^{2}-10z: o coeficiente linear é -10. Metade é -5 e o quadrado é 25. Então
z^{2}-10z+25=(z-5)^{2}.

Passo 4

Adiciono os termos que completei os quadrados, mas mantendo a igualdade (ou seja, adiciono e subtraio os mesmos valores). Escrevo a equação original reagrupada com os complementos:
(x^{2}-8x+16)+(y^{2}+6y+9)+(z^{2}-10z+25)+14-(16+9+25)=0.
Somando os números 16+9+25 obtemos 50. Portanto
(x-4)^{2}+(y+3)^{2}+(z-5)^{2}+14-50=0.
Calculo 14-50=-36, então
(x-4)^{2}+(y+3)^{2}+(z-5)^{2}-36=0.
Passo o -36 para o outro lado:
(x-4)^{2}+(y+3)^{2}+(z-5)^{2}=36.

Passo 5

Interpretação final: a equação está agora na forma padrão (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2} com
a=4,\qquad b=-3,\qquad c=5,\qquad r^{2}=36.
Logo o centro é (4,-3,5) e o raio é \sqrt{36}=6.

Passo 6

Dica prática para a prova (resumindo o truque): ao ver x^{2}+y^{2}+z^{2}+Bx+Cy+Dz+E=0, o centro costuma ser \left(-\tfrac{B}{2},-\tfrac{C}{2},-\tfrac{D}{2}\right) e o raio obtém-se completando os quadrados e calculando r^{2}= (constante positiva resultante). Isso evita muita escrita: aqui B=-8\Rightarrow -B/2=4, C=6\Rightarrow -C/2=-3, D=-10\Rightarrow -D/2=5.

Resposta

Centro: (4,-3,5)
Raio: 6