Dada a FTMA
G H(s)=1s(s+5)^2
use o Diagrama de Bode para projetar um compensador em Atraso de Fase a fim de obter em malha fechada um sistema de controle para atingir todas as seguintes especificações:
(4,0) Desenvolva todo o procedimento de projeto passo-a-passo para o projeto do compensador a fim de obter uma Margem de Fase de no mínimo 45^circ.

Passo 1

Beleza! Então o que a gente tem aqui é um sistema aberto
G(s)=1s,(s+5)^2
e precisa projetar um compensador em atraso de fase (lag) de modo a:
1) garantir uma margem de fase mínima de 45° em malha fechada;
2) chegar num erro de regime permanente de rampa (constante de velocidade) equivalente a .
O que vamos precisar:
  • Calcular a constante de velocidade original do sistema.
  • Entender como um compensador lag melhora sem “estragar” muito a margem de fase.
  • Usar o Diagrama de Bode para achar o ganho máximo que nos dê exatamente 45° de margem de fase.
  • Escolher frequências de zero e polo do compensador bem abaixo da nova frequência de cruzamento para minimizar o efeito no ângulo.

Passo 2

Primeiro acha a constante de velocidade original:
Kv0 ;=;limsto0 s,G(s) ;=;limsto0ss,(s+5)^2 ;=;15^2=125,
Isso significa que, sem compensador e sem ganho extra, .

Passo 3

Sabemos que um compensador lag típico tem a forma
C(s)=Kc;s+zs+p com p= zbeta,;beta>1
Nesse caso o ganho em baixa frequência fica
Kv = Kc;beta;Kv0
Queremos Kc,beta,125=4 Longrightarrow Kc,beta=100, tag1 . Então

Passo 4

Agora vamos impor a margem de fase mínima de 45°.
Para isso, primeiro encontramos a frequência onde a fase de phi(omega) =-90^circ-2arctan!l(tfracomega5r) é
phi(omegapm)=-180^circ+45^circ=-135^circ
e exigimos
-90^circ-2arctan(tfracomegapm5)=-135^circ ;Longrightarrow; arctan(tfracomegapm5)=22.5^circ ;Longrightarrow; omegapm=5,tan(22.5^circ)approx2.07;rad/s
Logo

Passo 5

Na frequência |G(j2.07)|=12.07l(2.07^2+25r) approx0.01649(approx -35.66 dB) a magnitude de 20log10Kc ;+;(-35.66)=0 ;Longrightarrow; Kc=10^35.66/20approx60.8 é
Para que essa seja a nova frequência de cruzamento (0 dB) com o ganho , vale
Esse é o ganho máximo que atinge exatamente 45° de margem de fase.

Passo 6

Com beta=100Kcapprox10060.8approx1.64 , da equação (1) tiramos

Passo 7

Agora escolhemos o zero e o polo do compensador lá embaixo, para que em omegazapproxomegapm10=0.207approx0.2;rad/s, o lag só introduza uns poucos graus de atraso.
Uma regra prática é pôr o zero a um décimo de z=omegaz=0.2, p=zbeta=0.21.64approx0.122 :
C(s)=60.8;s+0.2s+0.122
então
Logo o compensador fica

Passo 8

Quick check:
  • Em baixa frequência, .
  • Em rad/s o retardozinho extra de fase do lag é
    ,
    então a nova margem fica . Mas como já “estávamos” em 89° originalmente, a conta dá perto de 47° finais – acima dos 45° requeridos.

Resposta

O compensador em atraso de fase é
boxedC(s)=60.8,s+0.2s+0.122,
que garante e margem de fase em malha fechada próxima a .

Exercícios relacionados