Desenvolva o modelo matemático e chegue à função de transferência entre a concentração na saída e a concentração da entrada do seguinte tanque de mistura.
Dados:
  • F=4 m^3 / h
  • Ci=2 g / mol
  • V=4 m^3

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício quer e de que matéria isso faz parte. A ideia é desenvolver o modelo matemático de um tanque de mistura contínua e chegar na função de transferência que relaciona a concentração de saída com a concentração de entrada . Isso é parte de “dinâmica de sistemas” ou “modelagem de processos”, e o que precisamos usar é:
  1. Balanço de massa no tanque (equação diferencial).
  2. Transformada de Laplace pra virar essa equação diferencial em função de transferência.

Passo 2

Primeiro, fazermos o balanço de massa geral.
Num tanque bem misturado com volume constante d(,V,C(t),)dt = F,Ci(t) ;-; F,C(t) , a variação de massa de soluto dentro dele é igual à massa que entra menos a massa que sai:
V,dC(t)dt = Fl(Ci(t) - C(t)r)
Como o volume é constante, isso vira simplesmente
Aqui a teoria é: “taxa de acúmulo = entrada – saída”.

Passo 3

Agora vamos organizar essa equação diferencial pra uma forma padrão “ dC(t)dt + FV,C(t) = FV,Ci(t) ”. Dividindo tudo por :
Isso diz que a concentração no tanque decai com constante e é forçada pela entrada .

Passo 4

Chegou a hora da Transformada de Laplace (supondo condição inicial zero, ou seja s,C(s) + FV,C(s) = FV,Ci(s) ). Aplicando Laplace em cada termo:
Aqui a teoria básica de Laplace:
  • , mas .
  • .

Passo 5

Isolamos a razão G(s)=C(s)Ci(s) =FVs + FV , que é justamente a função de transferência :
Agora só falta substituir os valores dados: e . Então .

Resposta

boxedG(s)=C(s)Ci(s)=1s+1

Exercícios relacionados