Desenvolva o modelo matemático
chegue à função de transferência entre a concentração na saída e a concentração da entrada do seguinte tanque de mistura.
Dados:
-
-
-
Dados:
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício quer e de que matéria isso faz parte. A ideia é desenvolver o modelo matemático de um tanque de mistura contínua e chegar na função de transferência que relaciona a concentração de saída
com a concentração de entrada
. Isso é parte de “dinâmica de sistemas” ou “modelagem de processos”, e o que precisamos usar é:
- Balanço de massa no tanque (equação diferencial).
- Transformada de Laplace pra virar essa equação diferencial em função de transferência.
Passo 2
Primeiro, fazermos o balanço de massa geral.
Num tanque bem misturado com volume constante , a variação de massa de soluto dentro dele é igual à massa que entra menos a massa que sai:
Num tanque bem misturado com volume constante
Como o volume
é constante, isso vira simplesmente
Aqui a teoria é: “taxa de acúmulo = entrada – saída”.
Passo 3
Agora vamos organizar essa equação diferencial pra uma forma padrão “
”. Dividindo tudo por
:
Isso diz que a concentração no tanque decai com constante
e é forçada pela entrada
.
Passo 4
Chegou a hora da Transformada de Laplace (supondo condição inicial zero, ou seja
). Aplicando Laplace em cada termo:
Aqui a teoria básica de Laplace:
-
, mas . -
.
Passo 5
Isolamos a razão
, que é justamente a função de transferência
:
Agora só falta substituir os valores dados:
e
. Então
.