Dada a função:
Determine
para que
seja contínua em
.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
O que é pedido: determinar o valor de
para que
seja contínua em
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A expressão de
para
é
.
O valor de
em
é um parâmetro
a ser escolhido.
A raiz exige
, logo a função está definida por essa expressão para
(em particular há pontos à direita e à esquerda de
dentro do domínio).]
Passo 2
Definição de continuidade que vamos usar (explicada de forma direta): para que
seja contínua em
é necessário e suficiente que
No nosso caso isso significa que precisamos ter
Então o problema reduz-se a calcular o limite do lado esquerdo e igualá‑lo a
.
Passo 3
Cálculo do limite; técnica escolhida: racionalizar o numerador (usar o conjugado) para simplificar a expressão. Começamos com
Multiplicamos numerador e denominador por
(o conjugado) para eliminar a raiz no numerador:
Passo 4
Continuando a simplificação da parcela obtida no passo anterior:
Como estamos considerando
nesta expressão, podemos cancelar
no numerador e denominador, ficando
Passo 5
Agora que a expressão está simplificada, calculamos o limite por substituição direta (a função à direita é contínua em
e o denominador não zera):
Assim, o limite existe e vale
.
Passo 6
Condição de continuidade final: devemos ter
. Como o limite é
, concluímos que para
ser contínua em
é preciso escolher
Força aí — essa é uma técnica padrão: racionalizar o numerador quando aparece
algo; salva muito tempo na prova.