Dada a função:
f(x)= \begin{cases}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} & \text { se } x \neq 0 \\\ a & \text { se } x=0\end{cases}
Determine a para que f seja contínua em x=0.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} & \text{se } x \neq 0,\\[4pt] a & \text{se } x=0.\end{cases}
O que é pedido: determinar o valor de a para que f seja contínua em x=0.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\;
\bullet A expressão de f(x) para x\neq0 é \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}.
\bullet O valor de f em x=0 é um parâmetro a a ser escolhido.
\bullet A raiz exige x+1\ge 0, logo a função está definida por essa expressão para x\ge -1 (em particular há pontos à direita e à esquerda de 0 dentro do domínio).]

Passo 2

Definição de continuidade que vamos usar (explicada de forma direta): para que f seja contínua em x=0 é necessário e suficiente que
\lim_{x\to 0} f(x)=f(0).
No nosso caso isso significa que precisamos ter
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=a.
Então o problema reduz-se a calcular o limite do lado esquerdo e igualá‑lo a a.

Passo 3

Cálculo do limite; técnica escolhida: racionalizar o numerador (usar o conjugado) para simplificar a expressão. Começamos com
\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}.
Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x+1}+1 (o conjugado) para eliminar a raiz no numerador:
\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{(\sqrt{x+1})^2-1^2}{x(\sqrt{x+1}+1)}.

Passo 4

Continuando a simplificação da parcela obtida no passo anterior:
\frac{(\sqrt{x+1})^2-1^2}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}.
Como estamos considerando x\neq0 nesta expressão, podemos cancelar x no numerador e denominador, ficando
\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}\qquad\text{(para }x\neq0\text{)}.

Passo 5

Agora que a expressão está simplificada, calculamos o limite por substituição direta (a função à direita é contínua em x=0 e o denominador não zera):
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{1}{\sqrt{0+1}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}.
Assim, o limite existe e vale \dfrac{1}{2}.

Passo 6

Condição de continuidade final: devemos ter a=\lim_{x\to0} f(x). Como o limite é \dfrac{1}{2}, concluímos que para f ser contínua em x=0 é preciso escolher
a=\frac{1}{2}.
Força aí — essa é uma técnica padrão: racionalizar o numerador quando aparece \sqrt{\cdot}-algo; salva muito tempo na prova.

Resposta

\displaystyle a=\frac{1}{2}

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