4 Dada a função f(x)=13 x^3-x^2-8 x+3, determine os intervalos onde f^prime(x)>0, onde f^prime(x)<0 e os pontos onde f^prime(x)=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=13x^3-x^2-8x+3
e pede onde f'(x)>0, onde f'(x)<0 e os pontos onde f'(x)=0.
O conteúdo é derivada de polinômio e estudo de monotonicidade: precisamos calcular f'(x), achar seus zeros e analisar o sinal em cada região.

Passo 2

Calculamos a derivada de f usando as regras de potência e soma:
f'(x)=ddxl(tfrac13x^3r)-ddx(x^2)-ddx(8x)+ddx(3) =x^2-2x-8

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo
f'(x)=0 Longrightarrow x^2-2x-8=0
A equação quadrática tem raízes
x = 2pmraiz4+322 =2pm62,
ou seja,
x=-2 e x=4

Passo 4

Para analisar o sinal de f'(x)=x^2-2x-8, observamos que é uma parábola com coeficiente líder positivo, logo:
  • Em x<-2, f'(x)>0 (por exemplo, f'(-3)=9+6-8=7>0).
  • Em -2<x<4, f'(x)<0 (por exemplo, f'(0)=-8<0).
  • Em x>4, f'(x)>0 (por exemplo, f'(5)=25-10-8=7>0).

Resposta

f’(x) =0 em x=-2 e x=4.
f’(x)> 0 para x<-2 e para x>4.
f’(x)< 0 para -2<x<4.

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