1. Dada a função
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 10-2 x & \text { se } & x \neq 1 \\\ k & \text { se } & x=1 \end{array}\right.
i.Determine
\lim _{x \rightarrow 1} f(x) ;
ii.Determine o valor de k para que f(x) seja contínua em x=1.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • A função é definida por partes: f(x)=\begin{cases} 10-2x & \text{se } x\neq 1,\\[4pt] k & \text{se } x=1. \end{cases}
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Determinar \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x).
    2. Determinar o valor de k para que f seja contínua em x=1.
Temos disponível a expressão de f(x) para x\neq 1 (ou seja, o comportamento da função em pontos próximos de 1), e o valor atribuído em x=1 é k. A partir disso vamos calcular o limite e depois usar a definição de continuidade para achar k.]

Passo 2

Entendendo o que significa o limite pedido e como calcular aqui (aula rápida e direta).
  • A expressão \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) representa o valor que f(x) se aproxima quando x se aproxima de 1, considerando x diferentes de 1. Importante: o valor de f exatamente em x=1 (aqui é k) não interfere no cálculo do limite; o limite depende do comportamento para x próximos de 1, ou seja, da expressão válida para x\neq 1.
  • Quando a função ao redor de 1 é dada por uma expressão algébrica simples (aqui 10-2x), podemos calcular o limite simplesmente substituindo x=1, porque polinômios e funções polinomiais-lineares são contínuos em todo ponto do domínio onde estão definidas.

Passo 3

Calcular o limite substituindo x=1 na expressão que vale para x\neq 1.
\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1} (10-2x).
Como 10-2x é uma função linear contínua, basta substituir x=1:
\lim_{x\to 1} (10-2x)=10-2\cdot 1=10-2=8.
Portanto \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)=8.

Passo 4

Verificar a continuidade em x=1: definição e aplicação.
  • Definição: f é contínua em x=1 se, e somente se,
    1. \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) existe,
    2. f(1) está definido,
    3. \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)=f(1).
No nosso caso já temos (1) e (2): o limite existe (é 8) e f(1)=k está definido (é k). Para que (3) seja verdade precisamos que k seja igual ao valor do limite.

Passo 5

Determinar o valor de k exigido pela continuidade.
Para ter continuidade em x=1 é necessário e suficiente que
k=f(1)=\lim_{x\to 1} f(x)=8.
Logo k deve ser 8.

Passo 6

Comentário final curto e motivador (pra te dar confiança na prova).
  • Se k=8, a função fica contínua em x=1 (a definição de continuidade é satisfeita).
  • Se k\neq 8, a função terá uma descontinuidade removível em x=1: o limite existe e é 8, mas o valor da função em 1 é diferente.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)=8
k=8