- Dada a função
i.Determine
ii.Determine o valor de
para que
seja contínua em
.
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que ele pede.
- A função é definida por partes:
- O enunciado pede duas coisas:
- Determinar
. - Determinar o valor de
para que seja contínua em .
- Determinar
Temos disponível a expressão de
para
(ou seja, o comportamento da função em pontos próximos de
), e o valor atribuído em
é
. A partir disso vamos calcular o limite e depois usar a definição de continuidade para achar
.]
Passo 2
Entendendo o que significa o limite pedido e como calcular aqui (aula rápida e direta).
- A expressão
representa o valor que se aproxima quando se aproxima de , considerando diferentes de . Importante: o valor de exatamente em (aqui é ) não interfere no cálculo do limite; o limite depende do comportamento para próximos de , ou seja, da expressão válida para . - Quando a função ao redor de
é dada por uma expressão algébrica simples (aqui ), podemos calcular o limite simplesmente substituindo , porque polinômios e funções polinomiais-lineares são contínuos em todo ponto do domínio onde estão definidas.
Passo 3
Calcular o limite substituindo
na expressão que vale para
.
Como
é uma função linear contínua, basta substituir
:
Portanto
.
Passo 4
Verificar a continuidade em
: definição e aplicação.
- Definição:
é contínua em se, e somente se, -
existe, -
está definido, -
.
-
No nosso caso já temos (1) e (2): o limite existe (é
) e
está definido (é
). Para que (3) seja verdade precisamos que
seja igual ao valor do limite.
Passo 5
Determinar o valor de
exigido pela continuidade.
Para ter continuidade em
é necessário e suficiente que
Logo
deve ser
.
Passo 6
Comentário final curto e motivador (pra te dar confiança na prova).
- Se
, a função fica contínua em (a definição de continuidade é satisfeita). - Se
, a função terá uma descontinuidade removível em : o limite existe e é , mas o valor da função em é diferente.