Dada a função 
 ,
Desenvolva 
  em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de 
  de período 
 .
Desenvolva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função 
  definida de duas maneiras diferentes no intervalo 
 . Nosso objetivo é desenvolver essa função em uma série de Fourier usando somente funções seno e, depois, desenhar o gráfico da extensão periódica dessa função com período 
 . Vamos precisar entender o que é uma série de Fourier de senos e como calcular os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier de senos é uma maneira de representar uma função periódica como uma soma infinita de funções seno com diferentes frequências e amplitudes. Isso é útil para analisar funções que não são necessariamente suaves ou contínuas.
Passo 3
Como nossa função 
  é definida no intervalo 
 , para desenvolver a série de Fourier de senos, assumimos que a função é ímpar em relação ao eixo 
 . Isso significa que, ao estender a função para todo o eixo real, ela será periódica com período 
  e repetirá seu comportamento a cada intervalo de 
 .
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier de senos. A fórmula geral para o coeficiente 
  em uma série de senos é:
Onde 
  é um número inteiro positivo.
Passo 5
Vamos calcular 
  substituindo 
  na integral:
O primeiro termo desaparece porque 
  nessa parte do intervalo.
Passo 6
Agora, calculamos a integral restante:
Integrando, temos:
Passo 7
Simplificando:
Sabemos que 
  e 
  varia dependendo de 
 . Porém, para a série de senos, os coeficientes se simplificam de forma que só os termos ímpares permanecem.
Passo 8
Portanto, os coeficientes 
  são:
Passo 9
Agora, podemos escrever a série de Fourier de senos para 
 :
Onde 
  é um número inteiro positivo.
Resposta
A série de Fourier de senos para a função 
  é dada por:
Essa série representa a extensão periódica de 
  com período 
 .