Dada uma matriz
, o que se pode afirmar sobre
se:
a.
;
b.
c.
.
a.
b.
c.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de ordem
e fornece o valor de
(para cada item:
). As perguntas são: para cada caso, o que se pode afirmar sobre
?
Importante interpretar
: aqui significa o número de autovalores positivos de
contados com multiplicidade (isto é, o índice de positividade da matriz). Assumimos que a matriz é real e diagonalizável ortogonalmente (como acontece para matrizes simétricas reais), de modo que todos os autovalores são reais e podemos falar claramente em positivos, negativos ou zeros.
Informações relevantes dadas:
- A é
. -
é o número de autovalores positivos (valores dados: ). - Queremos deduzir possibilidades sobre
em cada caso.
Passo 2
Fato chave (explicado didaticamente): se
são os autovalores de
(contados com multiplicidade), então
Por que isso é verdade? Se
é diagonalizável (no caso real simétrico, diagonalizável por uma matriz ortogonal), existe uma matriz invertível
tal que
com
diagonal cujas entradas são exatamente os autovalores
. A propriedade
e
dá
. Assim o sinal e se é zero ou não do determinante dependem só dos sinais dos autovalores e se algum é zero.
Passo 3
Outra observação útil (para contar sinais): escrevendo o número de autovalores positivos, negativos e zeros como
temos
. Se algum autovalor for zero então
. Se não houver zeros, o sinal de
é
porque cada autovalor negativo contribui com um fator negativo ao produto.
Agora vamos aplicar isso a cada caso específico.
Passo 4
Caso (a):
.
- Então existe exatamente um autovalor positivo; os outros dois autovalores são ou negativos ou zero. As possibilidades (com
) são: - dois autovalores negativos (
); - um negativo e um zero (
); - dois zeros (
).
- dois autovalores negativos (
- Se os dois restantes são negativos, então
, ou seja . - Se pelo menos um dos restantes for zero, então
. - Conclusão: com
não é possível ter . Portanto é não negativo, isto é . Exemplos concretos: - Autovalores
dão . - Autovalores
dão .
- Autovalores
Passo 5
Caso (b):
.
- Aqui há exatamente dois autovalores positivos; o terceiro autovalor pode ser negativo ou zero. As possibilidades:
- terceiro autovalor negativo (
); - terceiro autovalor zero (
).
- terceiro autovalor negativo (
- Se o terceiro é negativo,
, ou seja . - Se o terceiro é zero,
. - Conclusão: com
não é possível ter . Portanto é não positivo, isto é . Exemplos: - Autovalores
dão . - Autovalores
dão .
- Autovalores
Passo 6
Caso (c):
.
- Todos os três autovalores são positivos (não há negativos nem zeros). Então
- Conclusão:
é estritamente positivo ( ). Exemplo: autovalores dão .
Resposta
a.
b.
c.
b.
c.