Dada uma matriz A_{3 \times 3}, o que se pode afirmar sobre \operatorname{det}(A) se:
a. \operatorname{pos}(A)=1;
b. \operatorname{pos}(A)=2
c. \operatorname{pos}(A)=3.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de ordem 3\times3 e fornece o valor de \operatorname{pos}(A) (para cada item: 1,2,3). As perguntas são: para cada caso, o que se pode afirmar sobre \det(A)?
Importante interpretar \operatorname{pos}(A): aqui significa o número de autovalores positivos de A contados com multiplicidade (isto é, o índice de positividade da matriz). Assumimos que a matriz é real e diagonalizável ortogonalmente (como acontece para matrizes simétricas reais), de modo que todos os autovalores são reais e podemos falar claramente em positivos, negativos ou zeros.
Informações relevantes dadas:
  • A é 3\times3.
  • \operatorname{pos}(A) é o número de autovalores positivos (valores dados: 1,2,3).
  • Queremos deduzir possibilidades sobre \det(A) em cada caso.

Passo 2

Fato chave (explicado didaticamente): se \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 são os autovalores de A (contados com multiplicidade), então
\det(A)=\lambda_1\lambda_2\lambda_3.
Por que isso é verdade? Se A é diagonalizável (no caso real simétrico, diagonalizável por uma matriz ortogonal), existe uma matriz invertível P tal que P^{-1}AP=D com D diagonal cujas entradas são exatamente os autovalores \lambda_i. A propriedade \det(P^{-1}AP)=\det(D) e \det(P^{-1}AP)=\det(A) \det(A)=\det(D)=\lambda_1\lambda_2\lambda_3. Assim o sinal e se é zero ou não do determinante dependem só dos sinais dos autovalores e se algum é zero.

Passo 3

Outra observação útil (para contar sinais): escrevendo o número de autovalores positivos, negativos e zeros como
\operatorname{pos}(A)=p,\qquad \operatorname{neg}(A)=q,\qquad \operatorname{null}(A)=r,
temos p+q+r=3. Se algum autovalor for zero então \det(A)=0. Se não houver zeros, o sinal de \det(A) é (-1)^{q} porque cada autovalor negativo contribui com um fator negativo ao produto.
Agora vamos aplicar isso a cada caso específico.

Passo 4

Caso (a): \operatorname{pos}(A)=1.
  • Então existe exatamente um autovalor positivo; os outros dois autovalores são ou negativos ou zero. As possibilidades (com p=1) são:
    • dois autovalores negativos ( q=2,r=0);
    • um negativo e um zero ( q=1,r=1);
    • dois zeros ( q=0,r=2).
  • Se os dois restantes são negativos, então \det(A)=(+)\cdot(-)\cdot(-)=(+), ou seja \det(A)>0.
  • Se pelo menos um dos restantes for zero, então \det(A)=0.
  • Conclusão: com p=1 não é possível ter \det(A)<0. Portanto \det(A) é não negativo, isto é \det(A)\ge 0. Exemplos concretos:
    • Autovalores 2,-1,-3 dão \det=2\cdot(-1)\cdot(-3)=6>0.
    • Autovalores 2,-1,0 dão \det=0.

Passo 5

Caso (b): \operatorname{pos}(A)=2.
  • Aqui há exatamente dois autovalores positivos; o terceiro autovalor pode ser negativo ou zero. As possibilidades:
    • terceiro autovalor negativo ( q=1,r=0);
    • terceiro autovalor zero ( q=0,r=1).
  • Se o terceiro é negativo, \det(A)=(+)\cdot(+)\cdot(-)=(-), ou seja \det(A)<0.
  • Se o terceiro é zero, \det(A)=0.
  • Conclusão: com p=2 não é possível ter \det(A)>0. Portanto \det(A) é não positivo, isto é \det(A)\le 0. Exemplos:
    • Autovalores 3,1,-2 dão \det=3\cdot1\cdot(-2)=-6<0.
    • Autovalores 3,1,0 dão \det=0.

Passo 6

Caso (c): \operatorname{pos}(A)=3.
  • Todos os três autovalores são positivos (não há negativos nem zeros). Então
\det(A)=(+)\cdot(+)\cdot(+)>0.
  • Conclusão: \det(A) é estritamente positivo ( \det(A)>0). Exemplo: autovalores 1,2,3 dão \det=6>0.

Resposta

a. \det(A)\ge 0
b. \det(A)\le 0
c. \det(A)>0