Dada F(p)=Lf(x), obtenha f(x). Mostre os detalhes do que fizer. ( L, n, k, a, b são constantes.)
f) 20(p-1)(p+4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Nosso objetivo é encontrar a função original a partir de sua transformada . Para isso, vamos precisar usar frações parciais e as tabelas de transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a expressão F(p) = 20(p-1)(p+4) em frações parciais. Isso facilita a identificação das transformadas inversas. A expressão que temos é:
20(p-1)(p+4) = Ap-1 + Bp+4
Queremos escrever isso na forma:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de 20 = A(p+4) + B(p-1) e 20 = A(1+4) + B(1-1) Rightarrow 20 = 5A Rightarrow A = 4 . Multiplicamos ambos os lados por 20 = A(-4+4) + B(-4-1) Rightarrow 20 = -5B Rightarrow B = -4 para eliminar os denominadores:
Para encontrar , substituímos :
Para encontrar , substituímos :

Passo 4

Com os valores de F(p) = 4p-1 - 4p+4 e encontrados, nossa expressão de fica:
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente.

Passo 5

Sabemos que a transformada de Laplace de L^-14p-1 = 4e^1x é L^-1-4p+4 = -4e^-4x . Aplicando isso aos nossos termos:

Passo 6

Finalmente, somamos as duas transformadas inversas para obter f(x) = 4e^x - 4e^-4x :

Resposta

A função f(x) = 4e^x - 4e^-4x é dada por:

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