Dada parábola
, determine as coordenadas do seu vértice, do seu foco e a equação de sua diretriz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação da parábola
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vértice, o foco e a equação da diretriz dessa parábola. Para isso, vamos precisar usar o conceito de completar o quadrado e entender a forma padrão da equação da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o processo de completar o quadrado. Vamos isolar os termos de
e deixar os termos de
de um lado:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Para isso, primeiramente, fatoramos o coeficiente de
que é 4:
Em seguida, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Lembrando que para completar o quadrado de
, adicionamos e subtraímos
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos distribuir o 4 e reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão da parábola:
Somando 25 em ambos os lados:
Dividindo todos os termos por 24 para isolar
:
Podemos reescrever isso como:
Passo 5
Agora, temos a equação na forma padrão da parábola vertical:
Comparando com a nossa equação:
Identificamos que:
Então, o vértice da parábola é
.
Passo 6
Com o valor de
, podemos encontrar o foco e a diretriz.
- Foco: Para parábolas verticais abertas para cima, o foco fica a uma distância
acima do vértice. Então:
- Diretriz: A diretriz é uma reta horizontal a uma distância
abaixo do vértice. A equação é:
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Equação da diretriz: