Dada parábola 4 x^2-20 x-24 y+97=0, determine as coordenadas do seu vértice, do seu foco e a equação de sua diretriz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação da parábola . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vértice, o foco e a equação da diretriz dessa parábola. Para isso, vamos precisar usar o conceito de completar o quadrado e entender a forma padrão da equação da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o processo de completar o quadrado. Vamos isolar os termos de 4x^2 - 20x = 24y - 97 e deixar os termos de de um lado:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 4(x^2 - 5x) = 24y - 97 . Para isso, primeiramente, fatoramos o coeficiente de 4(x^2 - 5x + 254 - 254) = 24y - 97 que é 4:
4((x - 52)^2 - 254) = 24y - 97
Em seguida, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Lembrando que para completar o quadrado de , adicionamos e subtraímos :
Simplificando:

Passo 4

Vamos distribuir o 4 e reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão da parábola:
4(x - 52)^2 - 25 = 24y - 97
Somando 25 em ambos os lados:
4(x - 52)^2 = 24y - 72
Dividindo todos os termos por 24 para isolar (x - 52)^2 = 6y - 3 :
(x - 52)^2 = 6(y - 12)
Podemos reescrever isso como:

Passo 5

Agora, temos a equação na forma padrão da parábola vertical:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Comparando com a nossa equação:
(x - 52)^2 = 6(y - 12)
Identificamos que:
h = 52, k = 12, 4p = 6 Rightarrow p = 64 = 32
Então, o vértice da parábola é .

Passo 6

Com o valor de Foco = (h, k + p) = (52, 12 + 32) = (52, 2) , podemos encontrar o foco e a diretriz.
  • Foco: Para parábolas verticais abertas para cima, o foco fica a uma distância y = k - p = 12 - 32 = -1 acima do vértice. Então:
  • Diretriz: A diretriz é uma reta horizontal a uma distância abaixo do vértice. A equação é:

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Equação da diretriz:

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