Dada a relação S=\left(\frac{R}{\theta^{2}}\right)^{1 / 3}\left(\frac{N U}{V}\right)^{2 / 3}, calcule a equação fundamental na representação da Entalpia, onde R e \theta são constantes positivas. ( \mathbf{2 , 0} pontos)

Passo 1

O enunciado dá a relação entre entropia, energia interna, volume e número de partículas:
S=\left(\frac{R}{\theta^{2}}\right)^{1/3}\left(\frac{N U}{V}\right)^{2/3},
onde \,R e \theta são constantes positivas. As variáveis são S (entropia), U (energia interna), V (volume) e N (número de partículas).
O que se pede: encontrar a equação fundamental na representação da entalpia, ou seja, obter H como função das variáveis naturais da entalpia, isto é H=H(S,P,N). Em termos práticos, é preciso:
  • obter U como função de (S,V,N);
  • usar a relação termodinâmica para P (derivada de U em relação a V com S,N fixos);
  • eliminar V em favor de P (quando possível) e calcular H=U+PV como função de (S,P,N).

Passo 2

Primeiro isolo U a partir da relação dada. Para simplificar, defino a constante
A=\left(\frac{R}{\theta^{2}}\right)^{1/3},
que é positiva. A relação fica
S = A\left(\frac{N U}{V}\right)^{2/3}.
Elevo ambos os lados à potência 3/2 para eliminar o expoente 2/3:
S^{3/2} = A^{3/2}\,\frac{N U}{V}.
Agora isolo U:
\frac{N U}{V} = \frac{S^{3/2}}{A^{3/2}} \qquad\Rightarrow\qquad U(S,V,N)=\frac{V}{N}\left(\frac{S}{A}\right)^{3/2}.
Aqui expliquei cada passo: elevar à 3/2 é o inverso de elevar a 2/3; em seguida despejei U dividindo por N e multiplicando por V.

Passo 3

Agora uso a forma diferencial fundamental para U(S,V,N):
dU = T\,dS - P\,dV + \mu\,dN,
onde T é a temperatura, P a pressão e \mu o potencial químico. Dessa relação segue que
P = -\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N}.
Vou calcular \left(\partial U/\partial V\right)_{S,N} a partir da expressão encontrada para U. Como U(S,V,N)=\dfrac{V}{N}\left(\dfrac{S}{A}\right)^{3/2}, note que \left(\dfrac{S}{A}\right)^{3/2} é tratado como constante quando derivamos em relação a V mantendo S,N fixos. Logo:
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N}=\frac{1}{N}\left(\frac{S}{A}\right)^{3/2}.
Portanto a pressão é
P = -\frac{1}{N}\left(\frac{S}{A}\right)^{3/2}.

Passo 4

A expressão acima mostra algo importante: P não depende de V; é uma função apenas de S e N. Isso significa que, ao tentar eliminar V em favor de P, não conseguimos resolver para V porque V desapareceu da relação que liga P a U. Em vez disso obtemos uma condição (uma restrição) entre P, S e N:
P = -\frac{1}{N}\left(\frac{S}{A}\right)^{3/2}.
Observações:
  • Para S>0, A>0 e N>0 essa fórmula exige P<0 (pressão negativa) — matematicamente admissível, embora fisicamente estranha em alguns contextos.
  • O fato de U ser linear em V levou a uma pressão independente de V; isso é a raíz do comportamento que veremos para a entalpia.

Passo 5

A entalpia é definida por
H=U+P V.
Queremos H como função de (S,P,N). Para isso, usamos a expressão de U e a relação entre P,S,N obtida. Escrevendo U e somando P V:
H = \frac{V}{N}\left(\frac{S}{A}\right)^{3/2} + P\,V = V\left[\frac{1}{N}\left(\frac{S}{A}\right)^{3/2} + P\right].
Mas da expressão do passo anterior temos exatamente
P = -\frac{1}{N}\left(\frac{S}{A}\right)^{3/2},
portanto o colchete é zero e obtemos
H(S,P,N)=0.
Interpretando: na representação entalpia, a transformação de Legendre (eliminar V por P) resulta na função H identicamente nula, desde que a relação conjugada entre P, S e N seja satisfeita. Em outras palavras, a superfície termodinâmica correspondente tem entalpia zero quando os pares termodinâmicos obedecem à restrição acima.

Passo 6

Resumo e comentários úteis para a prova (curto e prático):
  • Primeiro isole U(S,V,N) da expressão de S.
  • Use P=-\left(\partial U/\partial V\right)_{S,N} para obter a relação entre P,S,N.
  • Calcule H=U+PV e substitua; se U for linear em V o termo se anula e H=0.
  • Fique atento: a representação H(S,P,N) só faz sentido sobre a superfície onde P satisfaz a equação encontrada; fora dela não há V que satisfaça simultaneamente as condições termodinâmicas.

Resposta

H(S,P,N)=0
P=-\dfrac{1}{N}\left(\dfrac{S}{\left(\dfrac{R}{\theta^{2}}\right)^{1/3}}\right)^{3/2}

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