Dada a reta \frac{x-3}{2}--\frac{y+1}{5}--\frac{z-2}{-1}, determinar as coordenadas dos pontos de intersecção com os planos coordenados.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
\frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{5} = \frac{z-2}{-1}
e pede as coordenadas dos pontos de interseção dessa reta com os três planos coordenados ( xy, yz e xz). Para resolver, vamos parametrizar a reta e, em seguida, impor a condição de cada plano (zerar a coordenada correspondente).

Passo 2

Introduzimos o parâmetro t pela igualdade
\frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{5} = \frac{z-2}{-1} = t.
Isso nos dá as equações paramétricas:
x = 3 + 2t, \quad y = -1 + 5t, \quad z = 2 - t.

Passo 3

Interseção com o plano xy (onde z=0). Impomos 2 - t = 0, logo t = 2. Substituindo:
x = 3 + 2\cdot2 = 7, \quad y = -1 + 5\cdot2 = 9, \quad z = 0.
O ponto é (7,9,0).

Passo 4

Interseção com o plano yz (onde x=0). Impomos 3 + 2t = 0, logo t = -\tfrac{3}{2}. Substituindo:
x = 0, \quad y = -1 + 5\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) = -1 - \tfrac{15}{2} = -\tfrac{17}{2}, \quad z = 2 - \bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) = 2 + \tfrac{3}{2} = \tfrac{7}{2}.
O ponto é \bigl(0,\,-\tfrac{17}{2},\,\tfrac{7}{2}\bigr).

Passo 5

Interseção com o plano xz (onde y=0). Impomos -1 + 5t = 0, logo t = \tfrac{1}{5}. Substituindo:
x = 3 + 2\cdot\tfrac{1}{5} = \tfrac{17}{5}, \quad y = 0, \quad z = 2 - \tfrac{1}{5} = \tfrac{9}{5}.
O ponto é \bigl(\tfrac{17}{5},\,0,\,\tfrac{9}{5}\bigr).

Resposta

O ponto de interseção com o plano xy é (7,9,0).
O ponto de interseção com o plano yz é \bigl(0,-\tfrac{17}{2},\tfrac{7}{2}\bigr).
O ponto de interseção com o plano xz é \bigl(\tfrac{17}{5},0,\tfrac{9}{5}\bigr).

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