Dada a seguinte distribuição, pede-se:
x -2 -1 0 6 11 13 Total
\mathrm{P}(\mathrm{x}) 0,15 0,05 0,20 0,20 0,30 0,10 1
E(X);

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição discreta de X com os pares (x,\mathrm{P}(x)):
(-2,\,0,15),\;(-1,\,0,05),\;(0,\,0,20),\;(6,\,0,20),\;(11,\,0,30),\;(13,\,0,10).
A pergunta é: calcular E(X), a esperança (valor esperado) da variável aleatória X.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar. Para uma variável aleatória discreta que assume valores \{x_i\} com probabilidades \{p_i\}, a esperança (valor esperado) é dada por
E(X)=\sum_{i} x_i p_i.
Aqui x_i representa cada valor que X pode assumir e p_i=\mathrm{P}(X=x_i) é a probabilidade associada a esse valor. A ideia é calcular cada produto x_i p_i e somá-los.

Passo 3

Vamos calcular cada termo x_i p_i usando os dados da tabela. Vou mostrar cada multiplicação e o resultado (uso vírgula para decimais, como no enunciado):
(-2)\cdot 0,15 = -0,30
(-1)\cdot 0,05 = -0,05
0\cdot 0,20 = 0,00
6\cdot 0,20 = 1,20
11\cdot 0,30 = 3,30
13\cdot 0,10 = 1,30
Explicando rápido a aritmética: multiplicar por 0,10 desloca a vírgula uma casa (por isso 13\cdot0,10=1,30); multiplicar por 0,20 é o dobro de multiplicar por 0,10 (logo 6\cdot0,20=1,20). Para os negativos, o produto mantém o sinal negativo.

Passo 4

Agora somamos todos os termos calculados. Primeiro somo os positivos e depois os negativos para facilitar:
Soma dos positivos:
1,20 + 3,30 + 1,30 = 5,80
Soma dos negativos:
-0,30 + (-0,05) = -0,35
Somando positivos e negativos:
5,80 + (-0,35) = 5,45

Passo 5

Conclusão: o valor esperado E(X) é a soma dos produtos x_i p_i que acabamos de calcular, resultando em 5,45. Você pode interpretar esse número como a média ponderada dos valores de X segundo as probabilidades dadas — se repetíssemos o experimento muitas vezes, a média das observações tenderia a esse valor.

Resposta

E(X)=5,45