Dada a série infinita de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} n^{2} x^{n}
qual deve ser a condição sobre x para que ela seja convergente?
Resposta: |x|< \qquad .

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n}n^{2}x^{n}
e pede a condição sobre x para que ela converja. O conteúdo principal aqui é determinar o raio de convergência de uma série de potências, o que podemos fazer usando o teste da razão.

Passo 2

Definimos o termo genérico
a_{n} = \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n}n^{2}x^{n}.
Para aplicar o teste da razão, analisamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|.

Passo 3

Calculamos a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{n+1}(n+1)^{2}x^{\,n+1}}{\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{n}n^{2}x^{n}} = \frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\;\frac{|x|}{2}.
Tomando o valor absoluto e o limite para n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\;\frac{|x|}{2} = 1\cdot\frac{|x|}{2} = \frac{|x|}{2}.

Passo 4

Pelo teste da razão, a série converge se
\frac{|x|}{2} < 1 \quad\Longrightarrow\quad |x| < 2.

Resposta

|x|<2

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