Dada uma transformação linear 
 , mostre que 
  é um subespaço vetorial de 
  e que 
  é um subespaço vetorial de 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para a gente mostrar que o núcleo da transformação linear 
 , representado por 
 , e a imagem dessa transformação, 
 , são subespaços vetoriais dos espaços 
  e 
 , respectivamente. Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e os critérios que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o núcleo de 
 , que é o conjunto de todos os vetores 
  em 
  que são mapeados para o vetor zero em 
 . Ou seja:
Para mostrar que 
  é um subespaço vetorial, precisamos verificar três coisas:
- O vetor zero está no núcleo.
 - Se dois vetores estão no núcleo, a soma deles também está.
 - Se um vetor está no núcleo, qualquer múltiplo escalar dele também está.
 
Passo 3
Vamos verificar cada um desses pontos para 
 :
- Vetor zero está no núcleo: Aplicando 
ao vetor zero, temos , então .  - Fechamento em adição: Se 
, então , logo .  - Fechamento em multiplicação escalar: Se 
e é um escalar, então , então .  
Como todos os três critérios são satisfeitos, concluímos que 
  é de fato um subespaço vetorial de 
 .
Passo 4
Agora, vamos analisar a imagem de 
 , que é o conjunto de todos os vetores em 
  que são alcançados por 
  a partir de algum vetor em 
 . Formalmente:
Para mostrar que 
  é um subespaço vetorial de 
 , precisamos verificar os mesmos três critérios:
- O vetor zero está na imagem.
 - Se dois vetores estão na imagem, a soma deles também está.
 - Se um vetor está na imagem, qualquer múltiplo escalar dele também está.
 
Passo 5
Vamos verificar cada ponto para 
 :
- Vetor zero está na imagem: Como 
, então , portanto .  - Fechamento em adição: Se 
, então existem tais que e . Então, , e como , temos .  - Fechamento em multiplicação escalar: Se 
e é um escalar, então existe tal que . Assim, , e como , temos .  
Como todos os três critérios são atendidos, concluímos que 
  é um subespaço vetorial de 
 .
Resposta
Demonstramos que tanto 
  quanto 
  satisfazem os critérios para serem subespaços vetoriais dos respectivos espaços 
  e 
 . Portanto, 
  é um subespaço vetorial de 
  e 
  é um subespaço vetorial de 
 .