Dada a velocidade abaixo e a respectiva tensão viscosa, o fluido é newtoniano?
e
Passo 1
O enunciado dá duas informações e faz uma pergunta. Vou listar tudo claramente:
- Velocidade (componente
do campo de velocidades): . - Componente do tensor de tensões viscosas:
. - Pergunta: o fluido é newtoniano?
Observação útil (apenas listando dados, não resolvendo ainda): o componente
(componente
da velocidade) não foi fornecido no enunciado.
Passo 2
O que significa “fluido newtoniano” (passo-a-passo didático):
- Para um fluido isotrópico e newtoniano, a parte visco\tensorial da tensão (o chamado tensor de tensões deviatórias) relaciona-se linearmente com o tensor taxa-de-deformação. Em particular, o componente de cisalhamento
obedece
onde:
-
é a viscosidade dinâmica (um escalar constante para um fluido newtoniano simples), -
é o componente do tensor taxa-de-deformação (também chamado tensor deformação simétrica), definido por
com
e
as componentes do campo de velocidades nas direções
e
, respectivamente.
- Em palavras: para ser newtoniano deve existir uma constante
tal que seja proporcional a .
Dica prática muito usada em provas: se o escoamento for unidirecional (isto é,
e só há
), então
e a relação fica
Nessa situação basta checar se
é igual a alguma constante multiplicando
.
Passo 3
Calcular a derivada necessária (muito direto):
- Primeiro calculemos
. Como , derivando em relação a :
Isso é uma função que depende de
(mas não de
).
Passo 4
Teste simples assumindo o caso mais comum em exercícios (escoamento unidirecional com
):
- Se
então, como dito, . - Logo a viscosidade requerida seria
- Essa expressão depende de
. Para um fluido newtoniano a viscosidade deve ser uma constante (independente de ). Como aqui não é constante, concluímos que, sob a hipótese usual de escoamento unidirecional ( ), o fluido NÃO é newtoniano.
Passo 5
Análise mais geral (quando
não foi dada): existe alguma escolha de
e constante
que torne o fluido newtoniano?
- A condição geral para
ser do tipo newtoniano é
Substituindo
, obtemos
- Integrando em
dá uma família de funções
onde
é função arbitrária de
. Portanto, para qualquer constante
fixada, existe
que satisfaz a relação local entre
e as derivadas das velocidades.
No entanto, essa solução para
geralmente viola a condição de incompressibilidade (se o escoamento for incompressível), porque a condição de incompressibilidade é
Aqui
, enquanto
depende só de
, logo não pode igualar
(que depende de
) para nenhuma função
só de
. Assim, se o escoamento for incompressível (hipótese muito comum), NÃO existe
constante e
que satisfaçam todas as condições simultaneamente — logo o fluido não é newtoniano.
Passo 6
Resumo prático e conclusão didática (como fazer isso rápido na prova):
- Calcule
. - Veja se
é igual a uma constante vezes essa derivada (ou, no caso geral, a essa derivada somada com com uma constante multiplicativa comum). - Se a “constante” necessária depender de
ou , então não é newtoniano.
No caso dado,e exigiriam , que não é constante; além disso, impondo incompressibilidade não há escolha de que conserte isso. Portanto concluímos que o fluido não é newtoniano nas hipóteses usuais.
Resposta
Não — o fluido não é newtoniano (sob as hipóteses usuais, em particular para escoamento unidirecional ou incompressível).