Dada a velocidade abaixo e a respectiva tensão viscosa, o fluido é newtoniano?
u(x, y)=x^{2} y-2 y e \tau_{x y}=3 x

Passo 1

O enunciado dá duas informações e faz uma pergunta. Vou listar tudo claramente:
  • Velocidade (componente x do campo de velocidades): u(x,y)=x^{2}y-2y.
  • Componente do tensor de tensões viscosas: \tau_{xy}=3x.
  • Pergunta: o fluido é newtoniano?
Observação útil (apenas listando dados, não resolvendo ainda): o componente v (componente y da velocidade) não foi fornecido no enunciado.

Passo 2

O que significa “fluido newtoniano” (passo-a-passo didático):
  • Para um fluido isotrópico e newtoniano, a parte visco\tensorial da tensão (o chamado tensor de tensões deviatórias) relaciona-se linearmente com o tensor taxa-de-deformação. Em particular, o componente de cisalhamento \tau_{xy} obedece
\tau_{xy}=2\mu D_{xy},
onde:
  • \mu é a viscosidade dinâmica (um escalar constante para um fluido newtoniano simples),
  • D_{xy} é o componente xy do tensor taxa-de-deformação (também chamado tensor deformação simétrica), definido por
D_{xy}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right),
com u e v as componentes do campo de velocidades nas direções x e y, respectivamente.
  • Em palavras: para ser newtoniano deve existir uma constante \mu tal que \tau_{xy} seja proporcional a \left(\partial u/\partial y+\partial v/\partial x\right).
Dica prática muito usada em provas: se o escoamento for unidirecional (isto é, v=0 e só há u(x,y)), então D_{xy}=\tfrac{1}{2}\,\partial u/\partial y e a relação fica
\tau_{xy}=\mu\,\frac{\partial u}{\partial y}.
Nessa situação basta checar se \tau_{xy} é igual a alguma constante multiplicando \partial u/\partial y.

Passo 3

Calcular a derivada necessária (muito direto):
  • Primeiro calculemos \partial u/\partial y. Como u(x,y)=x^{2}y-2y, derivando em relação a y:
\frac{\partial u}{\partial y}=x^{2}-2.
Isso é uma função que depende de x (mas não de y).

Passo 4

Teste simples assumindo o caso mais comum em exercícios (escoamento unidirecional com v=0):
  • Se v=0 então, como dito, \tau_{xy}=\mu\,\partial u/\partial y.
  • Logo a viscosidade requerida seria
\mu=\frac{\tau_{xy}}{\partial u/\partial y}=\frac{3x}{x^{2}-2}.
  • Essa expressão depende de x. Para um fluido newtoniano a viscosidade \mu deve ser uma constante (independente de x,y). Como aqui \mu não é constante, concluímos que, sob a hipótese usual de escoamento unidirecional ( v=0), o fluido NÃO é newtoniano.

Passo 5

Análise mais geral (quando v não foi dada): existe alguma escolha de v(x,y) e constante \mu que torne o fluido newtoniano?
  • A condição geral para \tau_{xy} ser do tipo newtoniano é
3x=\tau_{xy}=2\mu D_{xy}=\mu\!\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right).
Substituindo \partial u/\partial y=x^{2}-2, obtemos
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{3x}{\mu}-(x^{2}-2).
  • Integrando em x dá uma família de funções
v(x,y)=\frac{3}{2\mu}x^{2}-\frac{x^{3}}{3}+2x+g(y),
onde g(y) é função arbitrária de y. Portanto, para qualquer constante \mu fixada, existe v(x,y) que satisfaz a relação local entre \tau_{xy} e as derivadas das velocidades.
No entanto, essa solução para v geralmente viola a condição de incompressibilidade (se o escoamento for incompressível), porque a condição de incompressibilidade é
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Aqui \partial u/\partial x=2xy, enquanto \partial v/\partial y=g'(y) depende só de y, logo não pode igualar -2xy (que depende de x) para nenhuma função g só de y. Assim, se o escoamento for incompressível (hipótese muito comum), NÃO existe \mu constante e v que satisfaçam todas as condições simultaneamente — logo o fluido não é newtoniano.

Passo 6

Resumo prático e conclusão didática (como fazer isso rápido na prova):
  • Calcule \partial u/\partial y.
  • Veja se \tau_{xy} é igual a uma constante vezes essa derivada (ou, no caso geral, a essa derivada somada com \partial v/\partial x com uma constante multiplicativa comum).
  • Se a “constante” necessária depender de x ou y, então não é newtoniano.
    No caso dado, \partial u/\partial y=x^{2}-2 e \tau_{xy}=3x exigiriam \mu=3x/(x^{2}-2), que não é constante; além disso, impondo incompressibilidade não há escolha de v que conserte isso. Portanto concluímos que o fluido não é newtoniano nas hipóteses usuais.

Resposta

Não — o fluido não é newtoniano (sob as hipóteses usuais, em particular para escoamento unidirecional ou incompressível).

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