Dadas duas retas reversas r:
e s:
, determinar o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos que se apoiam em r e s.
Passo 1
O enunciado dá duas retas reversas em
:
e pede o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos que têm uma extremidade em
e outra em
. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço, e vamos precisar parametrizar um ponto em cada reta, depois obter o ponto médio e, por fim, eliminar os parâmetros.
Passo 2
Escolhemos um ponto genérico
e um ponto genérico
pelas parametrizações:
Aqui
e
são parâmetros reais livres.
Passo 3
O ponto médio
do segmento
é dado por
Calculando coordenada a coordenada:
Simplificando,
Passo 4
Denotando as coordenadas de
por
, temos
Da segunda equação segue
. Substituindo em
e em
:
Passo 5
Da última igualdade temos
e, dividindo por
,
Esse é o lugar geométrico dos pontos médios: um plano em
.
Resposta
O lugar geométrico é o plano