Dadas duas retas reversas r: X=(0,1,-1)+\lambda(1,0,1) e s: X=(3,-1,4)+\mu(2,1,-3), determinar o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos que se apoiam em r e s.

Passo 1

O enunciado dá duas retas reversas em \mathbb{R}^3:
r:\;X=(0,1,-1)+\lambda\,(1,0,1),
s:\;X=(3,-1,4)+\mu\,(2,1,-3),
e pede o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos que têm uma extremidade em r e outra em s. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço, e vamos precisar parametrizar um ponto em cada reta, depois obter o ponto médio e, por fim, eliminar os parâmetros.

Passo 2

Escolhemos um ponto genérico A\in r e um ponto genérico B\in s pelas parametrizações:
A(\lambda) = (\lambda,\,1,\,-1+\lambda),
B(\mu) = (3+2\mu,\,-1+\mu,\,4-3\mu).
Aqui \lambda e \mu são parâmetros reais livres.

Passo 3

O ponto médio M do segmento AB é dado por
M = \frac{A(\lambda)+B(\mu)}{2}.
Calculando coordenada a coordenada:
M = \Bigl(\tfrac{\lambda + (3+2\mu)}{2},\;\tfrac{1 +(-1+\mu)}{2},\;\tfrac{(-1+\lambda)+(4-3\mu)}{2}\Bigr).
Simplificando,
M = \Bigl(\tfrac{\lambda +2\mu +3}{2},\;\tfrac{\mu}{2},\;\tfrac{\lambda -3\mu +3}{2}\Bigr).

Passo 4

Denotando as coordenadas de M por (x,y,z), temos
2x = \lambda + 2\mu + 3,
2y = \mu,
2z = \lambda - 3\mu + 3.
Da segunda equação segue \mu = 2y. Substituindo em 2x e em 2z:
\bullet De 2x = \lambda + 2\mu +3 vem \lambda = 2x -2\mu -3 = 2x -4y -3.
\bullet De 2z = \lambda -3\mu +3 obtemos
2z = (2x -4y -3) -3(2y) +3 = 2x -4y -3 -6y +3 = 2x -10y.

Passo 5

Da última igualdade temos
2x -10y -2z = 0
e, dividindo por 2,
x -5y - z = 0.
Esse é o lugar geométrico dos pontos médios: um plano em \mathbb{R}^3.

Resposta

O lugar geométrico é o plano
x - 5y - z = 0.

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