(2,5) Dadas as funções F(s) abaixo, determine as correspondentes funções antitransformadas f(t) :
F(s)=(a1+a2) s+3 a1s^2+3 s

Passo 1

Beleza, o problema diz que temos a transformada de Laplace
F(s)=(a1+a2),s+3,a1s^2+3,s
e quer a antitransformada .
Matéria: transformada inversa de Laplace.
O que vamos usar:
  1. Fatorar o denominador em .
  2. Técnica de frações parciais pra separar em termos que a gente reconhece direto da tabela.
  3. Saber que
    e .

Passo 2

Primeiro a gente fatorou o denominador:
s^2+3s = s,(s+3)
Aí escrevemos (a1+a2),s+3,a1s(s+3) = As + Bs+3 como soma de dois pedaços do tipo .
Ou seja, assumimos:

Passo 3

Agora a gente junta as frações no lado direito:
As + Bs+3 = A(s+3) + B,ss(s+3) = (A+B),s + 3As(s+3)
Como isso tem de ser igual a , comparamos coeficientes:
  1. Coeficiente de :
  2. Termo constante:
Então

Passo 4

Substituindo os valores de F(s) = a1s + a2s+3 e , ficou:
Agora aplicamos a transformada inversa de cada termo usando a propriedade da linearidade (a gente sabe que pode inverter cada parte separada):

Resposta

boxedf(t) = a1 + a2,e^-3t

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