(2,5) Dadas as funções F(s) abaixo, determine as correspondentes funções antitransformadas f(t) :
F(s)=a3 s+a3+a4s^2+2 s+1

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício está pedindo: temos
F(s)=a3,s + (a3+a4)s^2 + 2s + 1
e queremos achar a antitransformada de Laplace .
Conteúdo: transformada inversa de Laplace.
O que vamos precisar:
  • Reconhecer que .
  • Saber a tabela básica:
    e
    .
A partir do próximo passo, partimos para a resolução de fato.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidamente a ideia de antitransformada de Laplace: se
Lf(t)(s)=F(s),
então
L^-1F(s)(t)=f(t)
E na prática a gente usa tabelas, por exemplo:
  • .

Passo 3

Note que o denominador é
s^2 + 2s +1 = (s+1)^2
Então podemos reescrever
F(s)=a3,s + (a3+a4)(s+1)^2

Passo 4

O truque é escrever o numerador em função de s = (s+1) - 1 .
Repare:
a3,s + (a3+a4) = a3[(s+1)-1] + a3+a4 = a3(s+1) - a3 + a3 + a4 = a3(s+1) + a4
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Passo 5

Substituindo de volta em F(s) = a3(s+1) + a4(s+1)^2 = a3,s+1(s+1)^2 ;+; a4,1(s+1)^2 = a3,1s+1 ;+; a4,1(s+1)^2 , fica

Passo 6

Agora aplicamos a tabela de antitransformadas:
  • f(t) = a3,e^-t ;+; a4,t,e^-t
Então

Resposta

boxedf(t)=a3,e^-t + a4,t,e^-t

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