Dadas funções
e
determinar a inversa de
e
, onde
Passo 1
O enunciado pede para determinar a inversa da composição
.
Informações dadas:
-
definida por , com . -
definida por , com .
Pergunta explícita:
- Encontrar
, isto é, a função inversa da função (domínio da inversa será e imagem será ).
Passo 2
Formar a composição
. Por definição de composição, para todo
,
Substituindo a definição de
,
Breve explicação didática: composição significa primeiro aplicar
ao
(dar
) e depois aplicar
ao resultado (fazer a raiz quadrada de algo somado a 4). Aqui isso simplifica para
.
Passo 3
Analisar domínio e imagem de
(importante para saber o domínio da inversa).
- Para
temos . Então e . Assim está bem definida e satisfaz . Logo a imagem de é contida em . Isso garante que a composição realmente vai de em . - Observação importante (didática): para uma função ter inversa sobre seu conjunto imagem, ela precisa ser bijetiva entre domínio e imagem. Aqui, restrita a
e com imagem , a função é injetora porque, para , a função é estritamente crescente (quando restrita a ), e a raiz quadrada preserva ordem positiva; logo a composição é estritamente crescente em e portanto injetora. Assim uma inversa existe de em .
Passo 4
Determinar a inversa resolvendo a equação
para
em função de
.
Começamos com
onde
(ou seja
). Para isolar
elevamos ambos os lados ao quadrado (explicação didática: ao elevar ao quadrado perdemos informação sobre sinal de
, por isso depois teremos que selecionar a solução compatível com o domínio):
Isolando
,
Tomando raiz quadrada em ambos os lados obtemos as duas possibilidades formais
Passo 5
Escolher o sinal correto usando o domínio original
e evitar soluções extranhas (didática sobre extraneous roots).
- A equação ao quadrado gerou duas raízes
. Mas o domínio original exige , ou seja . Assim devemos escolher a raiz não negativa:
- Verificação mínima de consistência: para
temos , então , portanto a expressão fica em . Isso confirma que a escolha do sinal positivo é válida e que a inversa mapeia em .
Passo 6
Verificar que a função encontrada é de fato inversa (breve checagem):
Defina
com domínio
.
- Composição
para :
pois
implica
. Logo
.
- Composição
para :
pois
implica
. Logo
.
Essas duas igualdades mostram que
é de fato a inversa de
.