Dadas as funções, faça o que se pede: Verifique se as derivadas fx e fy são contínuas em (0,0) I. f(x, y)= x^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, , definida de duas formas diferentes dependendo de onde estamos no plano. Nosso objetivo é verificar se as derivadas parciais dessa função, ou seja, e , são contínuas no ponto . Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que significa continuidade nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
f(x, y) = x^3x^2 + y^2 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0)
A gente precisa calcular as derivadas parciais e e depois verificar se elas são contínuas em .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial fx = ddx(x^3x^2 + y^2) = (3x^2)(x^2 + y^2) - x^3(2x)(x^2 + y^2)^2 = 3x^2(x^2 + y^2) - 2x^4(x^2 + y^2)^2 = x^2(x^2 + 3y^2)(x^2 + y^2)^2 quando . Lembre-se que para derivadas parciais, tratamos uma variável como constante. Usaremos a regra do quociente:

Passo 4

Agora, vamos calcular fy = ddy(x^3x^2 + y^2) = 0 cdot (x^2 + y^2) - x^3(2y)(x^2 + y^2)^2 = -2x^3y(x^2 + y^2)^2 para . Usando a mesma regra do quociente:

Passo 5

Agora que temos as expressões das derivadas parciais para , precisamos verificar os limites dessas derivadas quando se aproxima de . Se os limites existirem e forem iguais às derivadas no ponto , então as derivadas serão contínuas ali.

Passo 6

Vamos primeiro avaliar fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h = limh to 0 h^3h^2 - 0h = limh to 0 hh = 1 . Para isso, usamos a definição de derivada parcial no ponto:

Passo 7

Agora, vamos avaliar o limite de lim(x, y) to (0,0) x^2(x^2 + 3y^2)(x^2 + y^2)^2 quando limr to 0 r^2cos^2theta (r^2cos^2theta + 3r^2sin^2theta)r^4 = limr to 0 r^4cos^4theta + 3r^4cos^2thetasin^2thetar^4 = cos^4theta + 3cos^2thetasin^2theta :
Para simplificar, podemos usar coordenadas polares onde e . Substituindo:
Esse limite depende de , ou seja, não é o mesmo para todos os caminhos que se aproximam de . Portanto, o limite não existe.

Passo 8

Como o limite de quando não coincide com , concluímos que não é contínua em .

Passo 9

Vamos fazer uma análise semelhante para fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0 . Primeiro, calculamos usando a definição:

Passo 10

Agora, avaliamos o limite de lim(x, y) to (0,0) -2x^3y(x^2 + y^2)^2 quando limr to 0 -2r^4cos^3theta sinthetar^4 = -2cos^3theta sintheta :
Usando coordenadas polares:
Assim como no caso de , esse limite também depende de , o que significa que não existe um único valor limítro para todos os caminhos.

Passo 11

Como o limite de quando não coincide com , também concluímos que não é contínua em .

Resposta

As derivadas parciais e da função não são contínuas no ponto .

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