Dadas as funções de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2} a seguir, escreva-as em função de z e \bar{z} conforme os exemplos resolvidos. Lembrando que x=\frac{z+\bar{z}}{2} e y=\frac{z-\bar{z}}{2 i}.
f(x, y)=e^{x}(\cos y, \sin y)

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad f(x,y)=\bigl(e^x\cos y,\;e^x\sin y\bigr)
e pede para escrever em função de z e \bar z, sabendo
x=\frac{z+\bar z}{2}, \quad y=\frac{z-\bar z}{2\,i}.

Passo 2

Substituímos essas expressões em f(x,y). Primeiro note que
\cos y = \frac{e^{i y}+e^{-i y}}{2}, \quad \sin y = \frac{e^{i y}-e^{-i y}}{2\,i},
logo
f(z,\bar z) =\Bigl(e^{\frac{z+\bar z}{2}}\cos\!\bigl(\tfrac{z-\bar z}{2\,i}\bigr), \;e^{\frac{z+\bar z}{2}}\sin\!\bigl(\tfrac{z-\bar z}{2\,i}\bigr)\Bigr).

Passo 3

Podemos notar que
e^x\bigl(\cos y + i\sin y\bigr) =e^{\,\frac{z+\bar z}{2}}\;e^{\,i\frac{z-\bar z}{2\,i}} =e^{\,\frac{z+\bar z}{2}+\frac{z-\bar z}{2}} =e^z.
Isso mostra que, na representação complexa w=u+iv, temos
u+iv = e^z,
isto é, u=\Re(e^z) e v=\Im(e^z).

Resposta

f(z,\bar z) =\Bigl(e^{\frac{z+\bar z}{2}}\cos\!\bigl(\tfrac{z-\bar z}{2\,i}\bigr), \;e^{\frac{z+\bar z}{2}}\sin\!\bigl(\tfrac{z-\bar z}{2\,i}\bigr)\Bigr),
ou, em forma complexa,
w=e^z.

Exercícios relacionados