Dadas as funções de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2} a seguir, escreva-as em função de z e \bar{z} conforme os exemplos resolvidos. Lembrando que x=\frac{z+\bar{z}}{2} e y=\frac{z-\bar{z}}{2 i}.
f(x, y)=\left(x y, x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a função
f(x,y) = \bigl(xy,\;x^2+y^2\bigr)
em termos de z e \bar z, sabendo que
x = \frac{z+\bar z}{2}, \quad y = \frac{z-\bar z}{2i}.

Passo 2

Substituímos em xy:
xy = \frac{z+\bar z}{2}\,\cdot\frac{z-\bar z}{2i} = \frac{(z+\bar z)(z-\bar z)}{4i} = \frac{z^2 - \bar z^2}{4i}.

Passo 3

Substituímos em x^2 + y^2:
x^2 = \Bigl(\frac{z+\bar z}{2}\Bigr)^2 = \frac{z^2 + 2z\bar z + \bar z^2}{4},
y^2 = \Bigl(\frac{z-\bar z}{2i}\Bigr)^2 = -\,\frac{(z-\bar z)^2}{4} = -\,\frac{z^2 - 2z\bar z + \bar z^2}{4}.
Somando,
x^2 + y^2 = \frac{z^2 + 2z\bar z + \bar z^2}{4} - \frac{z^2 - 2z\bar z + \bar z^2}{4} = \frac{4\,z\bar z}{4} = z\bar z.

Resposta

f(x,y) = \biggl(\frac{z^2 - \bar z^2}{4i},\;z\bar z\biggr).

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