Dadas as funções de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2} a seguir, escreva-as em função de z e \bar{z} conforme os exemplos resolvidos. Lembrando que x=\frac{z+\bar{z}}{2} e y=\frac{z-\bar{z}}{2 i}.
f(x, y)=(1, \tan y)

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a função (x,y)\mapsto (1,\tan y)
usando as variáveis complexas z e \bar z, sabendo que
x = \frac{z + \bar z}{2}, \quad y = \frac{z - \bar z}{2\,i}.

Passo 2

Anotamos as expressões de x e y em termos de z,\bar z:
x(z,\bar z) = \frac{z + \bar z}{2}, \qquad y(z,\bar z) = \frac{z - \bar z}{2\,i}.

Passo 3

A primeira componente da imagem é a constante 1, que independe de x ou y. Portanto, em termos de z,\bar z, continua
f_1(z,\bar z) = 1.

Passo 4

A segunda componente é \tan y. Substituindo y = \tfrac{z-\bar z}{2\,i}, obtemos
f_2(z,\bar z) = \tan\!\Bigl(\frac{z - \bar z}{2\,i}\Bigr).

Resposta

f(z,\bar z) \;=\; \bigl(1,\;\tan\!\bigl(\tfrac{z - \bar z}{2\,i}\bigr)\bigr).

Exercícios relacionados