Dadas as funções a seguir, encontre e esboce as curvas de nível
no mesmo plano cartesiano para os valores determinados de
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e esboçar, no mesmo plano cartesiano, as curvas de nível
da função
para os valores de
dados:
.
Informações fornecidas e o que é pedido:
- A função é
. - Os valores de nível são
. - Para cada
preciso encontrar o conjunto de pontos tal que . - Depois, esquematizar/traçar essas curvas no mesmo plano cartesiano.
Passo 2
Entendendo o que é uma curva de nível e simplificando a equação: uma curva de nível para
e valor
é o conjunto
Como
usa raiz quadrada,
para todos
. Logo, para
não haveria pontos; aqui todos os
dados são não-negativos. Para eliminar a raiz e obter uma equação mais simples, elevamos ao quadrado (essa operação é válida porque
e
):
Passo 3
Interpretando a equação obtida: a equação
é a equação de uma elipse (quando
) centrada na origem, alinhada com os eixos coordenados. Para ver a forma padrão, dividimos ambos os lados por
:
ou reorganizando como
Da forma padrão de uma elipse
concluímos que os semi-eixos são
Os interceptos com os eixos são
e
. Para
a equação vira
, que só admite
.
Passo 4
Caso
: substituindo na equação quadrada,
Somatório de termos não-negativos igual a zero implica
e
. Portanto a curva de nível é o ponto
Passo 5
Caso
: a equação é
Os semi-eixos são
Interceptos:
e
. É uma elipse pequena centrada na origem, mais esticada no eixo
do que no
.
Passo 6
Caso
: a equação é
Os semi-eixos são
Interceptos:
e
. É uma elipse maior, mesma orientação.
Passo 7
Caso
: a equação é
Os semi-eixos são
Interceptos:
e
. É a maior elipse do conjunto.
Passo 8
Como esboçar as curvas no mesmo plano:
- Desenhar os eixos
e com o mesmo escalonamento. - Marcar os interceptos de cada elipse: para cada
marcar e com , . - Desenhar uma curva fechada suave passando por esses quatro pontos, formando uma elipse centrada na origem e alinhada com os eixos.
- Incluir também o ponto
para .
Observação: as elipses são concêntricas e crescem com; para a elipse de está totalmente contida na de .
Opcional (forma paramétrica útil para traçar): para cada
pode-se usar