Dadas as funções a seguir, encontre e esboce as curvas de nível f(x, y)=c no mesmo plano cartesiano para os valores determinados de c.
f(x, y)=\sqrt{2 x^{2}+3 y^{2}} \quad c=0,1,2,6

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e esboçar, no mesmo plano cartesiano, as curvas de nível f(x,y)=c da função
f(x,y)=\sqrt{2x^{2}+3y^{2}}
para os valores de c dados: c=0,\;1,\;2,\;6.
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • A função é f(x,y)=\sqrt{2x^{2}+3y^{2}}.
  • Os valores de nível são c\in\{0,1,2,6\}.
  • Para cada c preciso encontrar o conjunto de pontos (x,y) tal que f(x,y)=c.
  • Depois, esquematizar/traçar essas curvas no mesmo plano cartesiano.

Passo 2

Entendendo o que é uma curva de nível e simplificando a equação: uma curva de nível para f e valor c é o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid f(x,y)=c\}.
Como f usa raiz quadrada, f(x,y)\ge 0 para todos (x,y). Logo, para c<0 não haveria pontos; aqui todos os c dados são não-negativos. Para eliminar a raiz e obter uma equação mais simples, elevamos ao quadrado (essa operação é válida porque c\ge 0 e f\ge 0):
f(x,y)=c \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{2x^{2}+3y^{2}}=c
\Longleftrightarrow\quad 2x^{2}+3y^{2}=c^{2}.

Passo 3

Interpretando a equação obtida: a equação
2x^{2}+3y^{2}=c^{2}
é a equação de uma elipse (quando c>0) centrada na origem, alinhada com os eixos coordenados. Para ver a forma padrão, dividimos ambos os lados por c^{2}:
\frac{2x^{2}}{c^{2}}+\frac{3y^{2}}{c^{2}}=1
ou reorganizando como
\frac{x^{2}}{c^{2}/2}+\frac{y^{2}}{c^{2}/3}=1.
Da forma padrão de uma elipse \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 concluímos que os semi-eixos são
a=\frac{c}{\sqrt{2}}\quad\text{(semi-eixo em \(x\))},\qquad b=\frac{c}{\sqrt{3}}\quad\text{(semi-eixo em \(y\))}.
Os interceptos com os eixos são (\pm a,0) e (0,\pm b). Para c=0 a equação vira 2x^{2}+3y^{2}=0, que só admite (0,0).

Passo 4

Caso c=0: substituindo na equação quadrada,
2x^{2}+3y^{2}=0.
Somatório de termos não-negativos igual a zero implica x=0 e y=0. Portanto a curva de nível é o ponto
(0,0).

Passo 5

Caso c=1: a equação é
2x^{2}+3y^{2}=1.
Os semi-eixos são
a=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}707\quad\text{e}\quad b=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}577.
Interceptos: (\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}},0) e (0,\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}}). É uma elipse pequena centrada na origem, mais esticada no eixo x do que no y.

Passo 6

Caso c=2: a equação é
2x^{2}+3y^{2}=4.
Os semi-eixos são
a=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\approx 1{,}414\quad\text{e}\quad b=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1{,}155.
Interceptos: (\pm\sqrt{2},0) e (0,\pm\tfrac{2}{\sqrt{3}}). É uma elipse maior, mesma orientação.

Passo 7

Caso c=6: a equação é
2x^{2}+3y^{2}=36.
Os semi-eixos são
a=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\approx 4{,}243\quad\text{e}\quad b=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\approx 3{,}464.
Interceptos: (\pm 3\sqrt{2},0) e (0,\pm 2\sqrt{3}). É a maior elipse do conjunto.

Passo 8

Como esboçar as curvas no mesmo plano:
  • Desenhar os eixos x e y com o mesmo escalonamento.
  • Marcar os interceptos de cada elipse: para cada c>0 marcar (\pm a,0) e (0,\pm b) com a=\tfrac{c}{\sqrt{2}}, b=\tfrac{c}{\sqrt{3}}.
  • Desenhar uma curva fechada suave passando por esses quatro pontos, formando uma elipse centrada na origem e alinhada com os eixos.
  • Incluir também o ponto (0,0) para c=0.
    Observação: as elipses são concêntricas e crescem com c; para c_{1}<c_{2} a elipse de c_{1} está totalmente contida na de c_{2}.
Opcional (forma paramétrica útil para traçar): para cada c>0 pode-se usar
x=\frac{c}{\sqrt{2}}\cos t,\qquad y=\frac{c}{\sqrt{3}}\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].

Resposta

c=0:\\ (0,0)
c=1:\\\ 2x^{2}+3y^{2}=1 (elipse com semi-eixos a=\tfrac{1}{\sqrt{2}},\\ b=\tfrac{1}{\sqrt{3}})
c=2:\\\ 2x^{2}+3y^{2}=4 (elipse com semi-eixos a=\sqrt{2},\\ b=\tfrac{2}{\sqrt{3}})
c=6:\\\ 2x^{2}+3y^{2}=36 (elipse com semi-eixos a=3\sqrt{2},\\ b=2\sqrt{3})