Dadas as retas: ®
\left{
\quad\right.
e (s) \quad x+y-2=0
Determine:
A interseção entre
e
.
\left{
e (s) \quad x+y-2=0
Determine:
A interseção entre
Passo 1
O enunciado dá duas retas e pede a interseção entre elas. Vou listar exatamente o que temos e o que se pede:
- A reta
está dada em forma paramétrica:
onde
é o parâmetro real (um número que varia e gera os pontos de
).
- A reta
está dada em forma implícita:
O que se pede: encontrar o(s) ponto(s)
que pertencem simultaneamente a
e a
; ou seja, determinar a interseção
.
Passo 2
Conceito e método que vou usar (explicado passo a passo):
- Interseção de duas retas é o ponto que satisfaz as equações das duas retas ao mesmo tempo.
- A reta
está em forma paramétrica: cada valor de gera um ponto com e . - A reta
está em forma implícita: um ponto pertence a se e somente se . - Estratégia simples e direta: substituir as expressões paramétricas de
e (vindas de ) na equação de . Isso transformará a equação em uma equação em . Resolver para nos dá o parâmetro que produz o ponto de interseção. Depois obtemos as coordenadas substituindo esse em e .
Passo 3
Substituição explícita das expressões de
na equação de
:
A equação de
é
Pegando
e
(essas expressões foram dadas para
), substituímos:
Agora simplifico passo a passo a expressão à esquerda:
Agrupando termos constantes e termos com
:
Calculando as somas:
ou seja
Passo 4
Resolver a equação para
:
Da equação
temos
Esse é o valor do parâmetro que produz um ponto de
que também deve satisfazer
.
Passo 5
Encontrar as coordenadas do ponto de interseção substituindo
nas fórmulas paramétricas de
:
Calculo de
:
Calculo de
:
Logo o ponto gerado é
.
Passo 6
Verificação final (confirmação rápida):
- Verifico que o ponto
pertence a substituindo na equação de :
logo pertence a
.
- Verifico que o ponto corresponde a
na reta : com obtivemos e , portanto pertence a .
Conclusão: o ponto pertence a ambas as retas, é a interseção procurada.