Dadas as retas: ®
\left{ \begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=2-3 t\end{array} \quad\right.
e (s) \quad x+y-2=0
Determine:
A interseção entre r e s.

Passo 1

O enunciado dá duas retas e pede a interseção entre elas. Vou listar exatamente o que temos e o que se pede:
  • A reta r está dada em forma paramétrica:
x=1+2t,\qquad y=2-3t,
onde t é o parâmetro real (um número que varia e gera os pontos de r).
  • A reta s está dada em forma implícita:
x+y-2=0.
O que se pede: encontrar o(s) ponto(s) (x,y) que pertencem simultaneamente a r e a s; ou seja, determinar a interseção r\cap s.

Passo 2

Conceito e método que vou usar (explicado passo a passo):
  • Interseção de duas retas é o ponto que satisfaz as equações das duas retas ao mesmo tempo.
  • A reta r está em forma paramétrica: cada valor de t gera um ponto \bigl(x(t),y(t)\bigr) com x(t)=1+2t e y(t)=2-3t.
  • A reta s está em forma implícita: um ponto (x,y) pertence a s se e somente se \;x+y-2=0.
  • Estratégia simples e direta: substituir as expressões paramétricas de x e y (vindas de r) na equação de s. Isso transformará a equação em uma equação em t. Resolver para t nos dá o parâmetro que produz o ponto de interseção. Depois obtemos as coordenadas substituindo esse t em x(t) e y(t).

Passo 3

Substituição explícita das expressões de r na equação de s:
A equação de s é
x+y-2=0.
Pegando x=1+2t e y=2-3t (essas expressões foram dadas para r), substituímos:
(1+2t) + (2-3t) - 2 = 0.
Agora simplifico passo a passo a expressão à esquerda:
1+2t+2-3t-2 = 0.
Agrupando termos constantes e termos com t:
(1+2-2) + (2t-3t) = 0.
Calculando as somas:
1 + ( -t ) = 0,
ou seja
1 - t = 0.

Passo 4

Resolver a equação para t:
Da equação
1 - t = 0
temos
t = 1.
Esse é o valor do parâmetro que produz um ponto de r que também deve satisfazer s.

Passo 5

Encontrar as coordenadas do ponto de interseção substituindo t=1 nas fórmulas paramétricas de r:
Calculo de x:
x = 1 + 2t = 1 + 2\cdot 1 = 1 + 2 = 3.
Calculo de y:
y = 2 - 3t = 2 - 3\cdot 1 = 2 - 3 = -1.
Logo o ponto gerado é (3,-1).

Passo 6

Verificação final (confirmação rápida):
  • Verifico que o ponto (3,-1) pertence a s substituindo na equação de s:
x+y-2 = 3 + (-1) - 2 = 0,
logo pertence a s.
  • Verifico que o ponto corresponde a t=1 na reta r: com t=1 obtivemos x=3 e y=-1, portanto pertence a r.
Conclusão: o ponto pertence a ambas as retas, é a interseção procurada.

Resposta

(3,-1)