#3) Dadas a tensão principal maior de 100 kPa atuante no plano horizontal e as tensões
e
atuantes em um dado plano, pede-se determinar a tensão principal menor e o ângulo que o plano onde atuam as tensões
e
faz com o plano principal maior.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede-se determinar a tensão principal menor e o ângulo entre o plano onde atuam
e e o plano de tensão principal maior. - Dados fornecidos:
(tensão principal maior atuando no plano horizontal),
(tensão normal no plano considerado),
(tensão cortante no mesmo plano). - Perguntas explícitas:
- Calcular a tensão principal menor
. - Calcular o ângulo
que o plano onde atuam e faz com o plano de .
- Calcular a tensão principal menor
- Todas as informações necessárias estão no enunciado; não há figura adicional.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
- Vamos usar a construção do círculo de Mohr (ou as equações de transformação de tensões em 2D). Por quê? Porque o círculo de Mohr reúne de forma muito direta a relação entre as tensões principais
e as tensões medidas num plano arbitrário: o ponto está sobre o círculo cujo centro e raio dependem de e . - Definições e fórmulas importantes (vou explicar cada símbolo):
- Centro do círculo de Mohr:
onde é a abscissa do centro do círculo. - Raio do círculo:
- O ponto que representa o estado de tensão no plano dado é
e satisfa z a equação do círculo: - Relação angular (para depois achar o ângulo): se
é o ângulo entre o plano considerado e o plano de , então e - Vou usar essas equações para primeiro achar
(porque aparece em e em ) e depois .
- Centro do círculo de Mohr:
Passo 3
Montando a equação que liga
:
- Substituímos
e na equação do círculo: - Agora colocamos os valores numéricos
, , (todas em kPa):
Passo 4
Resolver a equação para
passo a passo (álgebra limpa):
- Multiplico termos para evitar frações. Primeiro escrevo
, então: Portanto a equação fica - Multiplico toda a equação por
para eliminar os denominadores: - Expando os quadrados:
e
.
- Substituindo:
- Simplifico (cancelei
dos dois lados): - Reagrupando termos:
- Logo:
- Arredondando razoavelmente para a prova:
Passo 5
Verificação rápida (consistência) e cálculo do raio
e do centro
:
- Centro:
- Raio:
- Checagem rápida:
. E . Confere — ponto está sobre o círculo.
Passo 6
Cálculo do ângulo
entre o plano onde atuam
e o plano de
:
- Usamos a relação
Então - Portanto
Assim - Arredondando para a prova:
- Observação didática rápida: há sempre ambiguidade de sinal em
e duas orientações possíveis (admitimos o ângulo agudo como o ângulo entre os planos, que é o que normalmente se pede).