#3) Dadas a tensão principal maior de 100 kPa atuante no plano horizontal e as tensões \sigma=70 \mathrm{kPa} e \tau=40 \mathrm{kPa} atuantes em um dado plano, pede-se determinar a tensão principal menor e o ângulo que o plano onde atuam as tensões \sigma e \tau faz com o plano principal maior.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede-se determinar a tensão principal menor e o ângulo entre o plano onde atuam \sigma e \tau e o plano de tensão principal maior.
  • Dados fornecidos:
    \sigma_1 = 100\\ \mathrm{kPa} (tensão principal maior atuando no plano horizontal),
    \sigma = 70\\ \mathrm{kPa} (tensão normal no plano considerado),
    \tau = 40\\ \mathrm{kPa} (tensão cortante no mesmo plano).
  • Perguntas explícitas:
    1. Calcular a tensão principal menor \sigma_3.
    2. Calcular o ângulo \theta que o plano onde atuam \sigma e \tau faz com o plano de \sigma_1.
  • Todas as informações necessárias estão no enunciado; não há figura adicional.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
  • Vamos usar a construção do círculo de Mohr (ou as equações de transformação de tensões em 2D). Por quê? Porque o círculo de Mohr reúne de forma muito direta a relação entre as tensões principais \sigma_1,\sigma_3 e as tensões \sigma,\tau medidas num plano arbitrário: o ponto (\sigma,\tau) está sobre o círculo cujo centro e raio dependem de \sigma_1 e \sigma_3.
  • Definições e fórmulas importantes (vou explicar cada símbolo):
    • Centro do círculo de Mohr: C = \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2},onde C é a abscissa do centro do círculo.
    • Raio do círculo: R = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}.
    • O ponto que representa o estado de tensão no plano dado é (\sigma,\tau) e satisfa z a equação do círculo: (\sigma - C)^2 + \tau^2 = R^2.
    • Relação angular (para depois achar o ângulo): se \theta é o ângulo entre o plano considerado e o plano de \sigma_1, então \tau = R\sin(2\theta)e \sigma - C = R\cos(2\theta).
    • Vou usar essas equações para primeiro achar \sigma_3 (porque aparece em C e em R) e depois \theta.

Passo 3

Montando a equação que liga \sigma_1,\sigma_3,\sigma,\tau:
  • Substituímos C e R na equação do círculo: \left(\sigma - \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}\right)^2 + \tau^2 = \left(\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\right)^2.
  • Agora colocamos os valores numéricos \sigma_1=100, \sigma=70, \tau=40 (todas em kPa): \left(70 - \frac{100+\sigma_3}{2}\right)^2 + 40^2 = \left(\frac{100-\sigma_3}{2}\right)^2.

Passo 4

Resolver a equação para \sigma_3 passo a passo (álgebra limpa):
  • Multiplico termos para evitar frações. Primeiro escrevo 2\cdot 70 = 140, então: \left(70 - \frac{100+\sigma_3}{2}\right) = \frac{140 - 100 - \sigma_3}{2} = \frac{40 - \sigma_3}{2}.Portanto a equação fica \left(\frac{40 - \sigma_3}{2}\right)^2 + 40^2 = \left(\frac{100-\sigma_3}{2}\right)^2.
  • Multiplico toda a equação por 4 para eliminar os denominadores: (40 - \sigma_3)^2 + 4\cdot 40^2 = (100 - \sigma_3)^2.
  • Expando os quadrados: (40 - \sigma_3)^2 = \sigma_3^2 - 80\sigma_3 + 1600,
(100 - \sigma_3)^2 = \sigma_3^2 - 200\sigma_3 + 10000,
e 4\cdot 40^2 = 4\cdot 1600 = 6400.
  • Substituindo: \sigma_3^2 - 80\sigma_3 + 1600 + 6400 = \sigma_3^2 - 200\sigma_3 + 10000.
  • Simplifico (cancelei \sigma_3^2 dos dois lados): -80\sigma_3 + 8000 = -200\sigma_3 + 10000.
  • Reagrupando termos: 120\sigma_3 = 2000.
  • Logo: \sigma_3 = \frac{2000}{120} = \frac{200}{12} = \frac{100}{6} \approx 16{,}666\ldots\\ \mathrm{kPa}.
  • Arredondando razoavelmente para a prova: \sigma_3 \approx 16{,}67\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Verificação rápida (consistência) e cálculo do raio R e do centro C:
  • Centro: C = \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2} = \frac{100 + 16{,}666\ldots}{2} = 58{,}333\ldots\\ \mathrm{kPa}.
  • Raio: R = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} = \frac{100 - 16{,}666\ldots}{2} = 41{,}666\ldots\\ \mathrm{kPa}.
  • Checagem rápida: (\sigma - C)^2 + \tau^2 = (70 - 58{,}333\ldots)^2 + 40^2 = 11{,}666\ldots^2 + 1600 \approx 136{,}111\ldots + 1600 = 1736{,}111\ldots. E R^2 = 41{,}666\ldots^2 \approx 1736{,}111\ldots. Confere — ponto (\sigma,\tau) está sobre o círculo.

Passo 6

Cálculo do ângulo \theta entre o plano onde atuam \sigma,\tau e o plano de \sigma_1:
  • Usamos a relação \tau = R\sin(2\theta).Então \sin(2\theta) = \frac{\tau}{R} = \frac{40}{41{,}666\ldots} = 0{,}96.
  • Portanto 2\theta = \arcsin(0{,}96) \approx 73{,}7398^\circ.Assim \theta \approx \frac{73{,}7398^\circ}{2} \approx 36{,}8699^\circ.
  • Arredondando para a prova: \theta \approx 36{,}87^\circ.
  • Observação didática rápida: há sempre ambiguidade de sinal em \sin e duas orientações possíveis (admitimos o ângulo agudo 36{,}87^\circ como o ângulo entre os planos, que é o que normalmente se pede).

Resposta

\sigma_3 = 16{,}67\\ \mathrm{kPa}
\theta = 36{,}87^\circ

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