#2) Um solo coesivo apresenta um ângulo de atrito interno não drenado igual a 15^{\circ} e uma coesão não drenada igual a 35 kPa . Se um Corpo de Prova (CP) deste solo for submetido a um ensaio de compressão triaxial, determinar: o valor da pressão de confinamento na câmara triaxial necessária para assegurar que a ruptura se verifique quando a compressão axial atingir o valor de 200 kPa ; e o valor da tensão desviadora.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas quantidades:
  • Dados:
    • ângulo de atrito interno não drenado \phi_u = 15^\circ;
    • coesão não drenada c_u = 35\\ \text{kPa}.
  • Pedido:
    1. Determinar a pressão de confinamento na câmara triaxial (ou seja, a tensão radial / menor principal \sigma_3, em kPa) necessária para que a ruptura ocorra quando a compressão axial atinge 200\\ \text{kPa}.
    2. Determinar a tensão desviadora (ou seja, q=\sigma_1-\sigma_3) nesse estado de ruptura.
Observação importante (assunção usada na resolução): interpreto "a compressão axial atingir o valor de 200\\ \text{kPa}" como o valor da tensão axial total na amostra no instante da ruptura, isto é \sigma_1 = 200\\ \text{kPa}. Não vou pedir mais informações: sigo essa interpretação para resolver o problema.

Passo 2

Qual critério de ruptura vamos usar e por quê (explicação didática)?
  • Como nos foram fornecidos um ângulo de atrito e uma coesão “não drenados” ( \phi_u e c_u), usamos o critério de Mohr–Coulomb em termos de tensões totais apropriado para ensaio não drenado. Esse critério relaciona as tensões principais na ruptura.
  • Para um ensaio triaxial de compressão (eixo vertical com \sigma_1 maior e confinamento \sigma_3 lateral menor), a fórmula do critério de Mohr–Coulomb dá, para \sigma_1 em função de \sigma_3:
\sigma_1 \;=\; \sigma_3\;\frac{1+\sin\phi_u}{1-\sin\phi_u}\;+\;\frac{2\,c_u\cos\phi_u}{1-\sin\phi_u}.
  • Explicando cada termo:
    • \sigma_1 e \sigma_3 são as maiores e menores tensões principais (aqui, totais) no momento da ruptura;
    • \phi_u é o ângulo de atrito (aqui não drenado) — aparece dentro de seno e cosseno;
    • c_u é a coesão (não drenada) — aparece multiplicada por 2\cos\phi_u/(1-\sin\phi_u).
  • Essa expressão é uma forma algébrica padrão do critério de Mohr–Coulomb para tensões principais em triaxial de compressão.

Passo 3

Isolar \sigma_3 (passo algébrico).
  • Partimos de
\sigma_1 \;=\; \sigma_3\;\frac{1+\sin\phi_u}{1-\sin\phi_u}\;+\;\frac{2\,c_u\cos\phi_u}{1-\sin\phi_u}.
  • Subtraindo o termo da coesão e multiplicando por (1-\sin\phi_u)/(1+\sin\phi_u) obtemos:
\sigma_3 \;=\; \left(\sigma_1 \;-\; \frac{2\,c_u\cos\phi_u}{1-\sin\phi_u}\right)\;\frac{1-\sin\phi_u}{1+\sin\phi_u}.
  • Depois de achar \sigma_3 calculamos a tensão desviadora na ruptura:
q \;=\; \sigma_1 - \sigma_3.

Passo 4

Valores trigonométricos e substituição numérica (mostro como obter \sin\phi_u e \cos\phi_u para \phi_u=15^\circ).
  • Podemos usar as identidades exatas:
\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\approx 0{,}2588190451, \qquad \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx 0{,}9659258263.
  • Dados numéricos:
    • \phi_u=15^\circ\Rightarrow \sin\phi_u\approx 0{,}2588190451,\\ \cos\phi_u\approx 0{,}9659258263.
    • c_u=35\\ \text{kPa}.
    • \sigma_1=200\\ \text{kPa} (assunção explicada no Passo 1).

Passo 5

Calcular o termo da coesão \dfrac{2c_u\cos\phi_u}{1-\sin\phi_u}.
  • Primeiro 1-\sin\phi_u \approx 1 - 0{,}2588190451 = 0{,}7411809549.
  • Numerador 2 c_u \cos\phi_u = 2\cdot 35 \cdot 0{,}9659258263 = 70\cdot 0{,}9659258263 \approx 67{,}61480784.
  • Logo
\frac{2c_u\cos\phi_u}{1-\sin\phi_u} \approx \frac{67{,}61480784}{0{,}7411809549} \approx 91{,}2259\\ \text{kPa}.

Passo 6

Calcular \sigma_3 usando a fórmula isolada.
  • Substituindo em
\sigma_3 \;=\; \left(\sigma_1 \;-\; \frac{2c_u\cos\phi_u}{1-\sin\phi_u}\right)\frac{1-\sin\phi_u}{1+\sin\phi_u},
temos os termos já calculados:
  • \sigma_1 = 200\\ \text{kPa},
  • \dfrac{2c_u\cos\phi_u}{1-\sin\phi_u}\approx 91{,}2259\\ \text{kPa},
  • 1-\sin\phi_u\approx 0{,}7411809549,
  • 1+\sin\phi_u\approx 1{,}2588190451.
  • Então
\sigma_3 \approx \bigl(200 - 91{,}2259\bigr)\cdot\frac{0{,}7411809549}{1{,}2588190451}.
  • Primeiro cálculo interno: 200 - 91{,}2259 = 108{,}7741\\ \text{kPa}.
  • Razão: \dfrac{0{,}7411809549}{1{,}2588190451}\approx 0{,}58879.
  • Multiplicando:
\sigma_3 \approx 108{,}7741 \times 0{,}58879 \approx 64{,}07\\ \text{kPa}.

Passo 7

Calcular a tensão desviadora q=\sigma_1-\sigma_3.
  • Com \sigma_1=200\\ \text{kPa} e \sigma_3\approx 64{,}07\\ \text{kPa},
q \approx 200 - 64{,}07 = 135{,}93\\ \text{kPa}.

Resposta

Pressão de confinamento \sigma_3 \approx 64{,}07\\ \text{kPa}.
Tensão desviadora q=\sigma_1-\sigma_3 \approx 135{,}93\\ \text{kPa}.

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