Dado o campo elétrico boldsymbol{E}=(y+1) \mathbf{a}_{x}+(x-1) \mathbf{a}_{y}+2 \mathbf{a}_{z}, calcule a diferença de potencial entre os pontos:
C(-2,-3,4) e D(3,2,-1).

Passo 1

O enunciado pede a diferença de potencial entre os pontos C(-2,-3,4) e D(3,2,-1).
As informações dadas são o campo elétrico
\boldsymbol{E}=(y+1)\,\mathbf{a}_x+(x-1)\,\mathbf{a}_y+2\,\mathbf{a}_z
e as coordenadas dos pontos C e D indicadas acima.
Vou calcular a diferença de potencial elétrica entre esses dois pontos. Para isso vou usar a convenção habitual de eletrostática:
V(B)-V(A) = -\int_{A}^{B} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{\ell},
e, explicitamente, vou determinar V\text{(C)}-V(D) (ou seja, potencial em C menos potencial em D).

Passo 2

Primeiro verifiquemos se o campo \boldsymbol{E} é conservativo (isso garante que a diferença de potencial entre dois pontos não depende do caminho). Um campo vetorial é conservativo se seu rotacional (curl) é zero. O rotacional é definido por
\nabla\times\boldsymbol{E} = \begin{vmatrix} \mathbf{a}_x & \mathbf{a}_y & \mathbf{a}_z\\[4pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\[4pt] E_x & E_y & E_z \end{vmatrix}.
Aqui E_x=y+1, E_y=x-1, E_z=2. Calculemos as componentes do rotacional:
(\nabla\times\boldsymbol{E})_x = \frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z} = 0-0=0,
(\nabla\times\boldsymbol{E})_y = \frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x} = 0-0=0,
(\nabla\times\boldsymbol{E})_z = \frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y} = 1-1=0.
Portanto \nabla\times\boldsymbol{E}=\boldsymbol{0}, logo o campo é conservativo e existe uma função escalar V(x,y,z) tal que
\boldsymbol{E} = -\nabla V.
Isso significa que podemos encontrar V e usar V\text{(C)}-V(D) sem nos preocupar com o caminho.]

Passo 3

A relação \boldsymbol{E}=-\nabla V significa, componente a componente,
\frac{\partial V}{\partial x} = -E_x,\qquad \frac{\partial V}{\partial y} = -E_y,\qquad \frac{\partial V}{\partial z} = -E_z.
Substituindo E_x=y+1, E_y=x-1, E_z=2, obtemos
\frac{\partial V}{\partial x} = -(y+1).
Integramos essa igualdade em relação a x tratando y e z como constantes:
V(x,y,z) = -\int (y+1)\,dx = -(y+1)x + g(y,z),
onde g(y,z) é uma função arbitrária que pode depender de y e z (porque ao derivar em x desapareceria).

Passo 4

Agora usamos a condição para a derivada em relação a y:
\frac{\partial V}{\partial y} = -x + \frac{\partial g}{\partial y}.
Mas também \frac{\partial V}{\partial y} = -E_y = -(x-1) = -x+1. Igualando,
-x + \frac{\partial g}{\partial y} = -x + 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=1.
Integrando em relação a y,
g(y,z)=\int 1\,dy = y + h(z),
onde h(z) é uma função que depende só de z.

Passo 5

Agora usamos a condição para a derivada em relação a z:
\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{d h}{d z}.
Por outro lado \frac{\partial V}{\partial z} = -E_z = -2. Portanto
\frac{d h}{d z} = -2 \quad\Rightarrow\quad h(z) = -2z + C,
onde C é uma constante arbitrária (potencial absoluto é determinada até uma constante).

Passo 6

Juntando tudo temos a função potencial geral
V(x,y,z) = -(y+1)x + y -2z + C.
Podemos desenvolver para ficar mais explícito:
V(x,y,z) = -xy - x + y - 2z + C.
A constante C cancela ao calcular diferenças de potencial, então não precisamos escolhê-la.

Passo 7

Calculemos V nos pontos C(-2,-3,4) e D(3,2,-1) (a constante C pode ser ignorada porque subtrai depois).
Para C(-2,-3,4):
V\text{(C)}= -x y - x + y - 2z \Big|_{(x,y,z)=(-2,-3,4)}.
Calculando passo a passo:
-xy = -(-2)(-3) = -6,
-x = -(-2) = 2,
y = -3,
-2z = -2\cdot 4 = -8.
Somando: V\text{(C)} = -6 + 2 - 3 - 8 = -15.
Para D(3,2,-1):
V(D)= -xy - x + y - 2z \Big|_{(x,y,z)=(3,2,-1)}.
Calculando:
-xy = -(3)(2) = -6,
-x = -3,
y = 2,
-2z = -2\cdot(-1)=2.
Somando: V(D) = -6 -3 +2 +2 = -5.

Passo 8

Agora a diferença de potencial pedida (conforme escolhemos) é
V\text{(C)}-V(D) = -15 - (-5) = -10.
O sinal indica que V\text{(C)} é 10 unidades menores que V(D). A unidade natural é o volt ( \text{V}).

Resposta

-10\\ \text{V}