Dado o campo vetorial
F(x, y, z)=(2 x y+z^2) i+(x^2+2 y z) j+(y^2+2 x z) k:
Verifique se F é um campo conservativo. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por:
F(x, y, z) = (2xy + z^2) i + (x^2 + 2yz) j + (y^2 + 2xz) k
A pergunta é: Será que esse campo vetorial é conservativo? Para descobrir isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos conservativos e usar algumas ferramentas de cálculo vetorial, como o rotacional (ou “curl”, em inglês).

Passo 2

Primeiro, o que é um campo conservativo? Em termos simples, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser representado como o gradiente de alguma função escalar. Ou seja, existe uma função phi(x, y, z) tal que:
F = nabla phi
Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional (ou curl) desse campo é igual a zero. Então, para verificar se F é conservativo, vamos calcular o rotacional de F e ver se dá zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F , que é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente i :
partial Fzpartial y = partialpartial y (y^2 + 2xz) = 2y
partial Fypartial z = partialpartial z (x^2 + 2yz) = 2y
Componente i = 2y - 2y = 0
  1. Componente j :
partial Fxpartial z = partialpartial z (2xy + z^2) = 2z
partial Fzpartial x = partialpartial x (y^2 + 2xz) = 2z
Componente j = 2z - 2z = 0
  1. Componente k :
partial Fypartial x = partialpartial x (x^2 + 2yz) = 2x
partial Fxpartial y = partialpartial y (2xy + z^2) = 2x
Componente k = 2x - 2x = 0

Passo 4

Agora, juntando tudo:
nabla times F = 0 i + 0 j + 0 k = 0
O rotacional de F é o vetor nulo.

Resposta

Como o rotacional de F é zero, concluímos que F é um campo conservativo.

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