Dado o campo vetorial
:
Verifique se
é um campo conservativo. Justifique sua resposta.
Verifique se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por:
A pergunta é: Será que esse campo vetorial é conservativo? Para descobrir isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos conservativos e usar algumas ferramentas de cálculo vetorial, como o rotacional (ou “curl”, em inglês).
Passo 2
Primeiro, o que é um campo conservativo? Em termos simples, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser representado como o gradiente de alguma função escalar. Ou seja, existe uma função
tal que:
Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional (ou curl) desse campo é igual a zero. Então, para verificar se
é conservativo, vamos calcular o rotacional de
e ver se dá zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 4
Agora, juntando tudo:
O rotacional de
é o vetor nulo.
Resposta
Como o rotacional de
é zero, concluímos que
é um campo conservativo.