Dado o conjunto A=\{\varnothing,\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}, diga quais das alternativas abaixo são verdadeiras, sempre justificando suas respostas.
\varnothing \subset A.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação \varnothing \subset A é verdadeira, onde
A=\{\varnothing,\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}.
Informações dadas que vamos usar:
  • O conjunto A tem exatamente dois elementos: o primeiro é \varnothing e o segundo é \{\varnothing,\{\varnothing\}\}.
  • Em particular, A não é o conjunto vazio (ou seja, A\neq\varnothing).

Passo 2

Vamos lembrar o que significa a notação X\subset Y.
  • Por definição, X\subset Y significa: "todo elemento de X é também elemento de Y". Em símbolos:
X\subset Y \quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\,(x\in X \Rightarrow x\in Y).
  • No caso X=\varnothing essa condição é satisfeita de forma automática, porque não existe nenhum x em \varnothing para violar a implicação. Isso é chamado de verdade vacuamente verdadeira: uma afirmação do tipo “ \forall x\in\varnothing,\;P(x)” é verdadeira porque não há x\in\varnothing que torne P(x) falsa.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso:
  • Como \varnothing não tem elementos, a condição “ \forall x\in\varnothing,\; x\in A” é verdadeira por vacuidade. Logo \varnothing\subset A no sentido de subconjunto (inclusão).
  • Se a notação \subset for entendida como “subconjunto próprio” (ou seja, exigir além de \varnothing\subset A que \varnothing\neq A), também temos a afirmação verdadeira, porque A não é vazio: por exemplo \varnothing\in A, então A tem elemento. Portanto \varnothing\neq A, e assim \varnothing é subconjunto próprio de A.

Passo 4

Comentário final curto e tranquilizador: portanto, não importa se o autor do enunciado usou \subset no sentido amplo (inclusão) ou no sentido estrito (subconjunto próprio): em ambos os sentidos a afirmação é verdadeira para o conjunto dado.

Resposta

Verdadeira.