Dado o conjunto
, diga quais das alternativas abaixo são verdadeiras, sempre justificando suas respostas.
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação
é verdadeira, onde
Informações dadas que vamos usar:
- O conjunto
tem exatamente dois elementos: o primeiro é e o segundo é . - Em particular,
não é o conjunto vazio (ou seja, ).
Passo 2
Vamos lembrar o que significa a notação
.
- Por definição,
significa: "todo elemento de é também elemento de ". Em símbolos:
- No caso
essa condição é satisfeita de forma automática, porque não existe nenhum em para violar a implicação. Isso é chamado de verdade vacuamente verdadeira: uma afirmação do tipo “ ” é verdadeira porque não há que torne falsa.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso:
- Como
não tem elementos, a condição “ ” é verdadeira por vacuidade. Logo no sentido de subconjunto (inclusão). - Se a notação
for entendida como “subconjunto próprio” (ou seja, exigir além de que ), também temos a afirmação verdadeira, porque não é vazio: por exemplo , então tem elemento. Portanto , e assim é subconjunto próprio de .
Passo 4
Comentário final curto e tranquilizador: portanto, não importa se o autor do enunciado usou
no sentido amplo (inclusão) ou no sentido estrito (subconjunto próprio): em ambos os sentidos a afirmação é verdadeira para o conjunto dado.
Resposta
Verdadeira.