Dado dois vetores A=(4,5 m) i+(1,2 m) j+(1,6 m) k e B =(2,4 m) i-(1,6 m) j+(5,2) k, no espaço tridimensional. Determine para os vetores A e B (a) os ângulos de direção (alpha, beta, gamma) com os eixos (x, y, z), respectivamente, (b) o ângulo entre eles, © o produto vetorial C=A times B e (d) o módulo de C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional, o vetor A e o vetor B. O exercício pede para a gente descobrir algumas coisas sobre eles:
a) Os ângulos que cada vetor forma com os eixos x, y e z (chamados de ângulos de direção);
b) O ângulo entre os dois vetores;
c) O produto vetorial desses vetores, que vai dar outro vetor C;
d) O módulo (ou seja, o comprimento) desse vetor C.
Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de trigonometria e álgebra vetorial. Vamos passar por cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte a: Ângulos de direção (α, β, γ) com os eixos x, y, z
Primeiro, vamos entender o que são esses ângulos. Para qualquer vetor no espaço, os ângulos que ele forma com os eixos x, y e z são chamados de ângulos de direção. Eles nos dão uma ideia de como o vetor está orientado no espaço.
A fórmula para encontrar o ângulo que um vetor V forma com o eixo x, por exemplo, é:
cos(alpha) = Vx| V |
Onde | A | = raiz(4.5)^2 + (1.2)^2 + (1.6)^2 é a componente do vetor na direção x, e | B | = raiz(2.4)^2 + (-1.6)^2 + (5.2)^2 é o módulo do vetor V.
Vamos fazer isso para ambos os vetores A e B.
Para o vetor A:
Primeiro, calculamos o módulo de A:
Depois, encontramos cada ângulo usando as componentes de A.
Para o vetor B:
Fazemos o mesmo:
E depois calculamos os ângulos com cada eixo.

Passo 3

Calculando os ângulos de direção para o vetor A:
Primeiro, vamos calcular o módulo de A:
| A | = raiz4.5^2 + 1.2^2 + 1.6^2 = raiz20.25 + 1.44 + 2.56 = raiz24.25 approx 4.925 , m
Agora, vamos encontrar o ângulo α com o eixo x:
cos(alpha) = 4.54.925 implies alpha = cos^-1(4.54.925) approx cos^-1(0.914) approx 24^circ
Para o ângulo β com o eixo y:
cos(beta) = 1.24.925 implies beta = cos^-1(1.24.925) approx cos^-1(0.244) approx 75.4^circ
E para o ângulo γ com o eixo z:
cos(gamma) = 1.64.925 implies gamma = cos^-1(1.64.925) approx cos^-1(0.325) approx 71^circ

Passo 4

Calculando os ângulos de direção para o vetor B:
Primeiro, calculamos o módulo de B:
| B | = raiz2.4^2 + (-1.6)^2 + 5.2^2 = raiz5.76 + 2.56 + 27.04 = raiz35.36 approx 5.947 , m
Agora, vamos encontrar o ângulo α com o eixo x:
cos(alpha) = 2.45.947 implies alpha = cos^-1(2.45.947) approx cos^-1(0.404) approx 66^circ
Para o ângulo β com o eixo y:
cos(beta) = -1.65.947 implies beta = cos^-1(-1.65.947) approx cos^-1(-0.269) approx 105.5^circ
E para o ângulo γ com o eixo z:
cos(gamma) = 5.25.947 implies gamma = cos^-1(5.25.947) approx cos^-1(0.874) approx 29^circ

Passo 5

Parte b: Ângulo entre os vetores A e B
Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
A cdot B = | A | | B | cos(theta)
Onde A cdot B = (4.5)(2.4) + (1.2)(-1.6) + (1.6)(5.2) = 10.8 - 1.92 + 8.32 = 17.2 é o ângulo entre A e B.
Primeiro, calculamos o produto escalar:
17.2 = 4.925 times 5.947 times cos(theta)
Agora, usamos os módulos que já calculamos:
cos(theta) = 17.24.925 times 5.947 approx 17.229.313 approx 0.587
Resolvendo para theta = cos^-1(0.587) approx 54^circ :
Então,

Passo 6

Parte c: Produto vetorial A times B = i & j & k Ax & Ay & Az Bx & By & Bz
O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
A times B = i & j & k 4.5 & 1.2 & 1.6 2.4 & -1.6 & 5.2
Vamos montar essa matriz com os componentes de A e B:
A times B = i(1.2 times 5.2 - 1.6 times (-1.6)) - j(4.5 times 5.2 - 1.6 times 2.4) + k(4.5 times (-1.6) - 1.2 times 2.4)
Calculando o determinante:
1.2 times 5.2 = 6.24 1.6 times (-1.6) = -2.56 6.24 - (-2.56) = 8.8
Vamos calcular cada parte separadamente:
Para 4.5 times 5.2 = 23.4 1.6 times 2.4 = 3.84 23.4 - 3.84 = 19.56 :
4.5 times (-1.6) = -7.2 1.2 times 2.4 = 2.88 -7.2 - 2.88 = -10.08
Para A times B = 8.8,i - 19.56,j - 10.08,k :
Para :
Então, o produto vetorial fica:

Passo 7

Parte d: Módulo do vetor | C | = raiz(8.8)^2 + (-19.56)^2 + (-10.08)^2 = raiz77.44 + 382.6 + 101.6 = raiz561.64 approx 23.7 , m
Agora, vamos calcular o módulo de C, que é o resultado do produto vetorial:

Resposta

(a) Para o vetor A: α ≈ 24°, β ≈ 75.4°, γ ≈ 71°; para o vetor B: α ≈ 66°, β ≈ 105.5°, γ ≈ 29°.
(b) O ângulo entre A e B é aproximadamente 54°.
© O produto vetorial C = A × B = 8.8 i − 19.56 j − 10.08 k.
(d) O módulo de C é aproximadamente 23.7 m.

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