Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional, o vetor A e o vetor B. O exercício pede para a gente descobrir algumas coisas sobre eles:
a) Os ângulos que cada vetor forma com os eixos x, y e z (chamados de ângulos de direção);
b) O ângulo entre os dois vetores;
c) O produto vetorial desses vetores, que vai dar outro vetor C;
d) O módulo (ou seja, o comprimento) desse vetor C.
Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de trigonometria e álgebra vetorial. Vamos passar por cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte a: Ângulos de direção (α, β, γ) com os eixos x, y, z
Primeiro, vamos entender o que são esses ângulos. Para qualquer vetor no espaço, os ângulos que ele forma com os eixos x, y e z são chamados de ângulos de direção. Eles nos dão uma ideia de como o vetor está orientado no espaço.
A fórmula para encontrar o ângulo que um vetor V forma com o eixo x, por exemplo, é:
Onde é a componente do vetor na direção x, e é o módulo do vetor V.
Vamos fazer isso para ambos os vetores A e B.
Para o vetor A:
Primeiro, calculamos o módulo de A:
Depois, encontramos cada ângulo usando as componentes de A.
Para o vetor B:
Fazemos o mesmo:
E depois calculamos os ângulos com cada eixo.
Passo 3
Calculando os ângulos de direção para o vetor A:
Primeiro, vamos calcular o módulo de A:
Agora, vamos encontrar o ângulo α com o eixo x:
Para o ângulo β com o eixo y:
E para o ângulo γ com o eixo z:
Passo 4
Calculando os ângulos de direção para o vetor B:
Primeiro, calculamos o módulo de B:
Agora, vamos encontrar o ângulo α com o eixo x:
Para o ângulo β com o eixo y:
E para o ângulo γ com o eixo z:
Passo 5
Parte b: Ângulo entre os vetores A e B
Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde é o ângulo entre A e B.
Primeiro, calculamos o produto escalar:
Agora, usamos os módulos que já calculamos:
Resolvendo para :
Então,
Passo 6
Parte c: Produto vetorial
O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
Vamos montar essa matriz com os componentes de A e B:
A times B = i(1.2 times 5.2 - 1.6 times (-1.6)) - j(4.5 times 5.2 - 1.6 times 2.4) + k(4.5 times (-1.6) - 1.2 times 2.4)
Calculando o determinante:
1.2 times 5.2 = 6.24 1.6 times (-1.6) = -2.56 6.24 - (-2.56) = 8.8
Vamos calcular cada parte separadamente:
Para 4.5 times 5.2 = 23.4 1.6 times 2.4 = 3.84 23.4 - 3.84 = 19.56 :
4.5 times (-1.6) = -7.2 1.2 times 2.4 = 2.88 -7.2 - 2.88 = -10.08
Para A times B = 8.8,i - 19.56,j - 10.08,k :
Para :
Então, o produto vetorial fica:
Passo 7
Parte d: Módulo do vetor | C | = raiz(8.8)^2 + (-19.56)^2 + (-10.08)^2 = raiz77.44 + 382.6 + 101.6 = raiz561.64 approx 23.7 , m
Agora, vamos calcular o módulo de C, que é o resultado do produto vetorial:
Resposta
(a) Para o vetor A: α ≈ 24°, β ≈ 75.4°, γ ≈ 71°; para o vetor B: α ≈ 66°, β ≈ 105.5°, γ ≈ 29°.