Dado que a equação polar de um gráfico é 10 r^2 = 40 sen(2 theta), ache a equação cartesiana.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação no sistema polar: . Nosso objetivo é transformar essa equação para o sistema cartesiano, ou seja, em termos de e . Para isso, vamos precisar usar as relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada para facilitar. Dividindo os dois lados por 10, temos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar das relações entre coordenadas polares e cartesianas:

Passo 4

Também sabemos que a função trigonométrica pode ser escrita usando a identidade:
Então, substituindo na equação:

Passo 5

Substituindo e pelas expressões em e :
Portanto:

Passo 6

Para eliminar o denominador, multiplicamos os dois lados por :

Passo 7

Lembrando que , podemos substituir na equação:

Resposta

A equação cartesiana correspondente é .

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