Dado o potencial V(x, y, z)=k\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1 / 2}, calcule o vetor campo elétrico \vec{E}=-\nabla V.

Passo 1

O enunciado dá a função potencial escalar e pede o campo elétrico obtido por \vec{E}=-\nabla V.
Informações fornecidas:
  • A função potencial é \displaystyle V(x,y,z)=k\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1/2}, onde k é uma constante.
  • O que se pede: calcular o vetor \vec{E}=-\nabla V.
Observações úteis que já ficam claras do enunciado (sem resolver ainda):
  • A expressão envolve x^{2}+y^{2}+z^{2}, que sugere simetria esférica.
  • O ponto (x,y,z)=(0,0,0) faz V singular (diverge), então a expressão final valerá para (x,y,z)\neq(0,0,0).

Passo 2

Definições e ideia de cálculo (aula rápida e prática antes das contas).
  • O operador nabla aplicado a um escalar V é o vetor das derivadas parciais:
\nabla V=\left(\frac{\partial V}{\partial x},\\ \frac{\partial V}{\partial y},\\ \frac{\partial V}{\partial z}\right).
Isso significa que precisamos calcular \partial V/\partial x, \partial V/\partial y e \partial V/\partial z.
  • Uma forma conveniente é introduzir
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Então V=k\,r^{-1}. Usar r ajuda porque \nabla r é simples:
\nabla r=\left(\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r}\right),
válido para r\neq0.
  • Regra da cadeia (lembrando): se V(r)=k r^{-1} e r=r(x,y,z), então
\nabla V=\frac{dV}{dr}\,\nabla r.
Aqui \dfrac{dV}{dr} é a derivada de V em relação a r (tratando r como variável).

Passo 3

Calcular \dfrac{dV}{dr} usando V=k r^{-1}.
  • Derivada de r^{-1} em relação a r é -r^{-2}. Portanto
\frac{dV}{dr}=k\cdot\frac{d}{dr}\big(r^{-1}\big) = k\cdot(-1)\,r^{-2} = -k\,r^{-2}.

Passo 4

Calcular \nabla r.
  • Como indicado antes, por definição de r:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2},
então aplicando derivadas parciais:
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{r},
e de modo análogo
\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r},\qquad \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r}.
Logo
\nabla r=\left(\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r}\right).

Passo 5

Combinar \dfrac{dV}{dr} e \nabla r para obter \nabla V.
  • Usando a regra da cadeia:
\nabla V=\frac{dV}{dr}\,\nabla r = \big(-k\,r^{-2}\big)\left(\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r}\right).
  • Multiplicando componentes:
\nabla V=\left(-k\,\frac{x}{r^{3}},\\\ -k\,\frac{y}{r^{3}},\\\ -k\,\frac{z}{r^{3}}\right).
  • Em forma vetorial mais compacta, escrevendo \vec{r}=(x,y,z):
\nabla V = -k\,\frac{\vec{r}}{r^{3}}.

Passo 6

Calcular \vec{E}=-\nabla V e simplificar.
  • Aplicando o sinal negativo:
\vec{E}=-\nabla V = -\left(-k\,\frac{\vec{r}}{r^{3}}\right)=k\,\frac{\vec{r}}{r^{3}}.
  • Voltando às coordenadas cartesianas explícitas:
\vec{E}(x,y,z)=k\,\frac{(x,y,z)}{\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}.

Passo 7

Interpretação rápida e um exemplo numérico (para fixar a ideia).
  • Interpretação: o campo é radial (paralelo a \vec{r}), com magnitude
|\vec{E}|=\frac{k}{r^{2}},
pois \displaystyle \left\|\frac{\vec{r}}{r^{3}}\right\|=\frac{1}{r^{2}}. Ou seja, direção radial e decaimento como 1/r^{2} — típico de uma fonte pontual.
  • Exemplo simples: no ponto (1,0,0) tem r=1 e
\vec{E}(1,0,0)=k\,(1,0,0).
Boa! Conseguiu ver passo a passo como usar a regra da cadeia e o gradiente. Vai na fé — na prova, escrever os passos com r costuma economizar tempo e evitar erros.

Resposta

\vec{E}(x,y,z)=k\,\frac{(x,y,z)}{\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}\quad\text{para }(x,y,z)\neq(0,0,0).