Dado o sistema linear $\left\{\begin{array}{l}(1-a) X+y+z=0 \\\ X+(1-a) y+z=0 \\\ X+y+(1-a) Z=0\end{array}\right.$ , determine os valores de $a$ para que o sistema seja indeterminado.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo em

X,y,z

cujo parâmetro é

a

, e pergunta para quais valores de

a

ele fica indeterminado (isto é, tem infinitas soluções). Vamos usar o fato de que um sistema homogêneo tem solução não trivial exatamente quando a matriz de coeficientes é singular, ou seja, quando seu determinante é zero.

Passo 2

Escrevendo a matriz de coeficientes

M

associada ao sistema, temos

M = \begin{pmatrix} 1 - a & 1 & 1 \\[6pt] 1 & 1 - a & 1 \\[6pt] 1 & 1 & 1 - a \end{pmatrix}.

]

Passo 3

Como o sistema é homogêneo, ele terá infinitas soluções se, e só se,

\det(M) = 0.

Passo 4

Note que

M = J - aI,

onde

J

é a matriz

3\times3

cujos elementos são todos

1

I

é a identidade. Os autovalores de

J

são

3

(uma vez) e

0

(duas vezes). Assim, os autovalores de

M

são

3 - a \quad\text{e}\quad -\,a\\ (\text{multiplicidade 2}).

Logo

\det(M) = (3 - a)\,(-a)^2 = a^2\,(3 - a).

Passo 5

Para ter

\det(M)=0

basta resolver

a^2\,(3 - a) = 0

o que dá

a = 0 \quad\text{ou}\quad a = 3.

Nesses valores a matriz é singular e o sistema homogêneo fica indeterminado.

Resposta

a = 0

a = 3

Dado o sistema linear \left\{\begin{array}{l}(1-a) X+y+z=0 \\\ X+(1-a) y+z=0 \\\ X+y+(1-a) Z=0\end{array}\right., determine os valores de a para que o sistema seja indeterminado.