Dado um sistema com realimentação unitária da Figura 1 com
G(s)=\frac{K(s+6)}{(s+3)(s+4)(s+7)(s+9)}
Sabendo que o sistema deve operar \operatorname{com} t_{s}=1 \mathrm{~s} e \xi=0,8, determine o polo de um compensador do tipo avanço de fase cujo zero esteja em -4,5. Verifique a validade da aproximação de segunda ordem.

Passo 1

O enunciado dá um sistema em malha unitária com
G(s)=\frac{K(s+6)}{(s+3)(s+4)(s+7)(s+9)}
e pede que eu determine o polo de um compensador de avanço cujo zero está em -4,5. O sistema deve operar com tempo de acomodação t_{s}=1\\ \text{s} e razão de amortecimento \xi=0,8. Além disso, devo verificar a validade da aproximação de segunda ordem.
Informações relevantes fornecidas:
  • Função de planta G(s) acima (peguei esta fórmula do enunciado).
  • Compensador do tipo avanço com zero em -4,5 (ou seja, o compensador tem um zero fixo em s=-4,5 e um polo desconhecido real).
  • Especificações de projeto: t_{s}=1\\ \text{s} e \xi=0,8.
Perguntas a responder:
  1. Determinar a posição do polo do compensador (dado o zero em -4,5).
  2. Verificar se a aproximação de segunda ordem é válida para o sistema fechado resultante.

Passo 2

Primeiro eu calculo onde devem ficar os polos dominantes desejados a partir de t_{s} e \xi. Vou lembrar e explicar a fórmula usada.
Lembrete rápido (fórmula usada):
  • Para uma resposta subamortecida de segunda ordem, o tempo de acomodação (critério de 2\%) é aproximadamente
t_{s}\approx\frac{4}{\xi\omega_{n}},
onde \omega_{n} é a frequência natural não amortecida e \xi o coeficiente de amortecimento. Aqui cada símbolo significa:
  • t_{s}: tempo para permanecer dentro de 2\% do valor final;
  • \xi: razão de amortecimento (damping ratio);
  • \omega_{n}: frequência natural (rad/s).
Da fórmula isolamos \omega_{n}:
\omega_{n}=\frac{4}{\xi t_{s}}.
Substituindo os dados ( \xi=0,8 e t_{s}=1\\ \text{s}):
\omega_{n}=\frac{4}{0,8\cdot 1}=\frac{4}{0,8}=5\\ \text{rad/s}.
Os polos dominantes desejados (par complexo) são
s_{d}=-\xi\omega_{n}\pm j\omega_{n}\sqrt{1-\xi^{2}}.
Substituindo:
-\xi\omega_{n}=-0,8\cdot 5=-4, \qquad \omega_{n}\sqrt{1-\xi^{2}}=5\sqrt{1-0,8^{2}}=5\sqrt{1-0,64}=5\sqrt{0,36}=5\cdot0,6=3.
Portanto os polos desejados são
s_{d}=-4\pm j3.
Explicação: esses são os polos que fornecem exatamente t_s=1\\ \text{s} e \xi=0,8 para um sistema de segunda ordem. A estratégia de projeto é forçar a função em malha aberta compensada a satisfazer a condição de fase (angle condition) no ponto s_{d}, de modo que os polos fechados incluam esse par complexo.

Passo 3

Estratégia de projeto e condição a usar (explicada passo a passo):
  • O compensador proposto tem forma (sem contabilizar ganho escalar ainda)
C(s)=K_c\frac{s+4,5}{s+p_c},
onde p_c>0 é o valor absoluto do polo do compensador (polo em s=-p_c) que queremos determinar, e K_c é o ganho do compensador. A planta já tem um ganho K; o ganho total em malha aberta será K_{\text{tot}}=K\cdot K_c. Para determinar o lugar do polo do compensador eu uso a condição de ângulo do critério de polos: para que s_{d} seja polo do sistema em malha fechada é preciso que
\angle\big(G(s_{d})C(s_{d})\big)=(2k+1)180^\circ,
ou seja, a soma dos ângulos das contribuições dos zeros menos a soma dos ângulos das contribuições dos polos (avaliadas em s_d) dê um múltiplo ímpar de 180^\circ. Observação: o ganho absoluto é ajustado depois pela condição de módulo.
Vou aplicar a condição de ângulo para s_d=-4+j3 (pego o conjugado automaticamente depois).

Passo 4

Calcular os ângulos (explicando como faço) dos termos de G(s) e do zero do compensador em s_{d}. Regra: o ângulo de um fator (s+a) em s_d é o ângulo do vetor que vai do polo/zero -a até s_d; numericamente use \operatorname{atan2}(\Im,\Re).
Defino s_d=-4+ j3. Vou calcular os ângulos (em graus) dos fatores não dependentes do novo polo:
Zeros:
  • zero da planta em -6: vetor s_d-(-6)=2+j3. Ângulo \theta_{z1}=\operatorname{atan2}(3,2)\approx56{,}3099^\circ.
  • zero do compensador em -4{,}5: vetor s_d-(-4{,}5)=0{,}5+j3. Ângulo \theta_{zc}=\operatorname{atan2}(3,0{,}5)\approx80{,}5377^\circ.
Polos (da planta):
  • polo em -3: vetor -1+j3. Ângulo \theta_{p1}=\operatorname{atan2}(3,-1)\approx108{,}4349^\circ.
  • polo em -4: vetor 0+j3. Ângulo \theta_{p2}=90^\circ.
  • polo em -7: vetor 3+j3. Ângulo \theta_{p3}=\operatorname{atan2}(3,3)=45^\circ.
  • polo em -9: vetor 5+j3. Ângulo \theta_{p4}=\operatorname{atan2}(3,5)\approx30{,}9638^\circ.
Polos do compensador: o ângulo do polo desconhecido em s=-p_c é
\theta_{pc}=\operatorname{atan2}\big(3,\;p_c-4\big),
pois o vetor é (p_c-4)+j3.
Agora somo os ângulos dos zeros e subtraio os ângulos dos polos (exceto o polo compensador que fica como incógnita):
\sum\theta_{\text{zeros}}=\theta_{z1}+\theta_{zc}\approx56{,}3099^\circ+80{,}5377^\circ=136{,}8476^\circ,
\sum\theta_{\text{polos (plant)}}=\theta_{p1}+\theta_{p2}+\theta_{p3}+\theta_{p4}\approx108{,}4349^\circ+90^\circ+45^\circ+30{,}9638^\circ=274{,}3987^\circ.
A condição de ângulo exige
\sum\theta_{\text{zeros}}-\big(\sum\theta_{\text{polos (plant)}}+\theta_{pc}\big)=(2k+1)180^\circ.
Vou usar o caso com (2k+1)180^\circ=-180^\circ (equivalente a 180^\circ modulo 360^\circ); isso é comum ao buscar compensador com fase de avanço. Assim:
136{,}8476^\circ-\big(274{,}3987^\circ+\theta_{pc}\big)=-180^\circ.

Passo 5

Isolar \theta_{pc} a partir da equação de ângulo e resolver para p_c.
Da equação do passo anterior:
136{,}8476^\circ-274{,}3987^\circ-\theta_{pc}=-180^\circ.
Calculando a diferença:
-137{,}5511^\circ-\theta_{pc}=-180^\circ
\Rightarrow\theta_{pc}=-137{,}5511^\circ+180^\circ=42{,}4489^\circ.
Logo a condição pede que
\operatorname{atan2}\big(3,\;p_c-4\big)=42{,}4489^\circ.
Passando para tangente:
\tan(42{,}4489^\circ)=\frac{3}{p_c-4}.
Logo
p_c-4=\frac{3}{\tan(42{,}4489^\circ)}.
Calculo numérico:
\tan(42{,}4489^\circ)\approx0{,}9160\quad\Rightarrow\quad p_c-4\approx\frac{3}{0{,}9160}\approx3{,}274,
portanto
p_c\approx4+3{,}274=7{,}274.
Conclusão desta etapa: o polo do compensador deve estar em s=-p_c\approx-7{,}274.

Passo 6

Calcular o ganho total necessário (condição de módulo) para assegurar que s_d é de fato raiz da equação característica. Explico o procedimento: uma vez satisfeita a condição de ângulo, o ganho total K_{\text{tot}}=K\cdot K_c é obtido impondo
|G(s_{d})C(s_{d})|=1.
Vou calcular o módulo dos fatores em s_d e obter K_{\text{tot}}.
Fatores em módulo (avaliei numericamente em s_d=-4+j3):
  • |s_d+6|=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}\approx3{,}6056.
  • |s_d+4,5|=\sqrt{0{,}5^{2}+3^{2}}=\sqrt{9{,}25}\approx3{,}0414.
  • |s_d+3|=\sqrt{(-1)^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}\approx3{,}1623.
  • |s_d+4|=|j3|=3.
  • |s_d+7|=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{18}\approx4{,}2426.
  • |s_d+9|=\sqrt{5^{2}+3^{2}}=\sqrt{34}\approx5{,}83095.
  • |s_d+p_c|=\sqrt{(p_c-4)^{2}+3^{2}}=\sqrt{3{,}274^{2}+3^{2}}\approx4{,}4400 (usei o p_c encontrado).
O módulo da parte sem ganho é então
\frac{|s_d+6||s_d+4,5|}{|s_d+3||s_d+4||s_d+7||s_d+9||s_d+p_c|} \approx\frac{3{,}6056\cdot3{,}0414}{3{,}1623\cdot3\cdot4{,}2426\cdot5{,}83095\cdot4{,}4400}.
Calculei numericamente:
  • Numerador \approx10{,}968.
  • Denominador \approx1042{,}3.
    Logo o módulo sem ganho \approx0{,}010524.
Da condição |G C|=1 segue
K_{\text{tot}}=\frac{1}{0{,}010524}\approx95{,}04.
Portanto o ganho total K_{\text{tot}}=K\cdot K_c\approx95{,}04. (Isto apenas para referência; o que foi realmente pedido era o polo do compensador.)

Passo 7

Construir a equação característica completa e obter os outros polos do sistema fechado para verificar a aproximação de segunda ordem.
A equação característica (multiplicando por todos os denominadores) é
(s+3)(s+4)(s+7)(s+9)(s+p_c)+K_{\text{tot}}(s+6)(s+4,5)=0.
Multiplicando os quatro fatores da planta em pares e depois pelo quinto (faço as contas numéricas explicadas):
  • Produto (s+3)(s+4)(s+7)(s+9)
s^{4}+23s^{3}+187s^{2}+633s+756.
  • Multiplicando por (s+p_c) com p_c\approx7{,}274 obtive (valores numéricos)
s^{5}+30{,}274s^{4}+354{,}302s^{3}+1993{,}238s^{2}+5360{,}382s+5499{,}024.
  • O termo do ganho envolve (s+6)(s+4,5)=s^{2}+10,5s+27 multiplicado por K_{\text{tot}}\approx95{,}04.
Somando os termos resulta na equação característica aproximada
s^{5}+30{,}274s^{4}+354{,}302s^{3}+2088{,}278s^{2}+6358{,}302s+8065{,}104=0.

Passo 8

Dividir o polinômio por (s^{2}+8s+25) (que corresponde ao par de polos projetados -4\pm j3) para obter o fator cúbico que contém os outros três pólos reais. Expliquei: se os polos dominantes efetivamente são -4\pm j3, então o polinômio deve ser divisível por s^{2}+8s+25.
Fazendo a divisão (mostrei a multiplicação e subtrações numéricas) obtive o quociente cúbico aproximado
s^{3}+22{,}274s^{2}+151{,}110s+322{,}548.
Agora encontro as raízes desse cúbico. Buscando uma raiz real aproximadamente, testei valores e encontrei uma raiz real próxima de -4{,}93. Fazendo divisão sintética por (s+4{,}93) obtive o quadrático restante
s^{2}+17{,}344s+65{,}638.
As raízes desse quadrático são
s\approx\frac{-17{,}344\pm\sqrt{17{,}344^{2}-4\cdot65{,}638}}{2}
que numéricamente dá s\approx-5{,}579 e s\approx-11{,}766.
Portanto os polos do sistema em malha fechada (aproximados) são:
s\approx -4\pm j3,\quad s\approx -4{,}93,\quad s\approx -5{,}58,\quad s\approx -11{,}77.

Passo 9

Verificação da validade da aproximação de segunda ordem (explicação didática):
  • A aproximação de segunda ordem assume que o comportamento transitório é dominado pelo par complexo de polos mais próximo do eixo imaginário, e que os demais polos (não-dominantes) são suficientemente mais à esquerda (mais negativos na parte real) para que suas contribuições decaiam muito mais rápido e possam ser desprezadas no início da resposta.
  • Critério prático (orientativo): se os polos não-dominantes têm parte real com magnitude várias vezes maior que a dos polos dominantes, a aproximação é boa. Aqui o polo dominante tem parte real -4 (tempo de decaimento \tau_{d}=1/4=0{,}25\\ \text{s}). Os outros polos reais encontrados têm partes reais -4{,}93, -5{,}58 e -11{,}77, cujos tempos de decaimento são 1/4{,}93\approx0{,}203\\ \text{s}, 1/5{,}58\approx0{,}179\\ \text{s} e 1/11{,}77\approx0{,}085\\ \text{s}.
  • Observação: dois polos não-dominantes ( -4{,}93 e -5{,}58) têm parte real não muito maior que -4; estão apenas um pouco mais à esquerda. Isso significa que suas contribuições na resposta transitória são decaimento um pouco mais rápido, mas não tão mais rápido que possam ser completamente ignoradas. O terceiro não-dominante em -11{,}77 decai muito mais rápido e é claramente desprezável.
Conclusão objetiva sobre validade: a aproximação de segunda ordem é apenas marginalmente válida; o par complexo -4\pm j3 domina a resposta oscilatória (definindo \xi e \omega_n desejados), mas dois polos reais não-dominantes estão bastante próximos e podem influenciar de forma mensurável a forma da resposta (pequeno desvio em amplitude/tempo). Portanto a aproximação de segunda ordem não é excelente, é aceitável com reservas (marginal).

Resposta

Polo do compensador: s=-7{,}274 (aprox.).
Validade da aproximação de 2ª ordem: marginalmente válida — polos não-dominantes em s\approx-4{,}93,\\\ -5{,}58,\\\ -11{,}77; os dois primeiros estão perto do dominante, logo a aproximação não é muito precisa.

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