Dado um sistema com realimentação unitária da Figura 1 com
Sabendo que o sistema deve operar
e
, determine o polo de um compensador do tipo avanço de fase cujo zero esteja em
. Verifique a validade da aproximação de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado dá um sistema em malha unitária com
e pede que eu determine o polo de um compensador de avanço cujo zero está em
. O sistema deve operar com tempo de acomodação
e razão de amortecimento
. Além disso, devo verificar a validade da aproximação de segunda ordem.
Informações relevantes fornecidas:
- Função de planta
acima (peguei esta fórmula do enunciado). - Compensador do tipo avanço com zero em
(ou seja, o compensador tem um zero fixo em e um polo desconhecido real). - Especificações de projeto:
e .
Perguntas a responder:
- Determinar a posição do polo do compensador (dado o zero em
). - Verificar se a aproximação de segunda ordem é válida para o sistema fechado resultante.
Passo 2
Primeiro eu calculo onde devem ficar os polos dominantes desejados a partir de
e
. Vou lembrar e explicar a fórmula usada.
Lembrete rápido (fórmula usada):
- Para uma resposta subamortecida de segunda ordem, o tempo de acomodação (critério de
) é aproximadamente
onde
é a frequência natural não amortecida e
o coeficiente de amortecimento. Aqui cada símbolo significa:
-
: tempo para permanecer dentro de do valor final; -
: razão de amortecimento (damping ratio); -
: frequência natural (rad/s).
Da fórmula isolamos
:
Substituindo os dados (
e
):
Os polos dominantes desejados (par complexo) são
Substituindo:
Portanto os polos desejados são
Explicação: esses são os polos que fornecem exatamente
e
para um sistema de segunda ordem. A estratégia de projeto é forçar a função em malha aberta compensada a satisfazer a condição de fase (angle condition) no ponto
, de modo que os polos fechados incluam esse par complexo.
Passo 3
Estratégia de projeto e condição a usar (explicada passo a passo):
- O compensador proposto tem forma (sem contabilizar ganho escalar ainda)
onde
é o valor absoluto do polo do compensador (polo em
) que queremos determinar, e
é o ganho do compensador. A planta já tem um ganho
; o ganho total em malha aberta será
. Para determinar o lugar do polo do compensador eu uso a condição de ângulo do critério de polos: para que
seja polo do sistema em malha fechada é preciso que
ou seja, a soma dos ângulos das contribuições dos zeros menos a soma dos ângulos das contribuições dos polos (avaliadas em
) dê um múltiplo ímpar de
. Observação: o ganho absoluto é ajustado depois pela condição de módulo.
Vou aplicar a condição de ângulo para
(pego o conjugado automaticamente depois).
Passo 4
Calcular os ângulos (explicando como faço) dos termos de
e do zero do compensador em
. Regra: o ângulo de um fator
em
é o ângulo do vetor que vai do polo/zero
até
; numericamente use
.
Defino
. Vou calcular os ângulos (em graus) dos fatores não dependentes do novo polo:
Zeros:
- zero da planta em
: vetor . Ângulo . - zero do compensador em
: vetor . Ângulo .
Polos (da planta):
- polo em
: vetor . Ângulo . - polo em
: vetor . Ângulo . - polo em
: vetor . Ângulo . - polo em
: vetor . Ângulo .
Polos do compensador: o ângulo do polo desconhecido em
é
pois o vetor é
.
Agora somo os ângulos dos zeros e subtraio os ângulos dos polos (exceto o polo compensador que fica como incógnita):
A condição de ângulo exige
Vou usar o caso com
(equivalente a
modulo
); isso é comum ao buscar compensador com fase de avanço. Assim:
Passo 5
Isolar
a partir da equação de ângulo e resolver para
.
Da equação do passo anterior:
Calculando a diferença:
Logo a condição pede que
Passando para tangente:
Logo
Calculo numérico:
portanto
Conclusão desta etapa: o polo do compensador deve estar em
.
Passo 6
Calcular o ganho total necessário (condição de módulo) para assegurar que
é de fato raiz da equação característica. Explico o procedimento: uma vez satisfeita a condição de ângulo, o ganho total
é obtido impondo
Vou calcular o módulo dos fatores em
e obter
.
Fatores em módulo (avaliei numericamente em
):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
(usei o encontrado).
O módulo da parte sem ganho é então
Calculei numericamente:
- Numerador
. - Denominador
.
Logo o módulo sem ganho.
Da condição
segue
Portanto o ganho total
. (Isto apenas para referência; o que foi realmente pedido era o polo do compensador.)
Passo 7
Construir a equação característica completa e obter os outros polos do sistema fechado para verificar a aproximação de segunda ordem.
A equação característica (multiplicando por todos os denominadores) é
Multiplicando os quatro fatores da planta em pares e depois pelo quinto (faço as contas numéricas explicadas):
- Produto
dá
- Multiplicando por
com obtive (valores numéricos)
- O termo do ganho envolve
multiplicado por .
Somando os termos resulta na equação característica aproximada
Passo 8
Dividir o polinômio por
(que corresponde ao par de polos projetados
) para obter o fator cúbico que contém os outros três pólos reais. Expliquei: se os polos dominantes efetivamente são
, então o polinômio deve ser divisível por
.
Fazendo a divisão (mostrei a multiplicação e subtrações numéricas) obtive o quociente cúbico aproximado
Agora encontro as raízes desse cúbico. Buscando uma raiz real aproximadamente, testei valores e encontrei uma raiz real próxima de
. Fazendo divisão sintética por
obtive o quadrático restante
As raízes desse quadrático são
que numéricamente dá
e
.
Portanto os polos do sistema em malha fechada (aproximados) são:
Passo 9
Verificação da validade da aproximação de segunda ordem (explicação didática):
- A aproximação de segunda ordem assume que o comportamento transitório é dominado pelo par complexo de polos mais próximo do eixo imaginário, e que os demais polos (não-dominantes) são suficientemente mais à esquerda (mais negativos na parte real) para que suas contribuições decaiam muito mais rápido e possam ser desprezadas no início da resposta.
- Critério prático (orientativo): se os polos não-dominantes têm parte real com magnitude várias vezes maior que a dos polos dominantes, a aproximação é boa. Aqui o polo dominante tem parte real
(tempo de decaimento ). Os outros polos reais encontrados têm partes reais , e , cujos tempos de decaimento são , e . - Observação: dois polos não-dominantes (
e ) têm parte real não muito maior que ; estão apenas um pouco mais à esquerda. Isso significa que suas contribuições na resposta transitória são decaimento um pouco mais rápido, mas não tão mais rápido que possam ser completamente ignoradas. O terceiro não-dominante em decai muito mais rápido e é claramente desprezável.
Conclusão objetiva sobre validade: a aproximação de segunda ordem é apenas marginalmente válida; o par complexo
domina a resposta oscilatória (definindo
e
desejados), mas dois polos reais não-dominantes estão bastante próximos e podem influenciar de forma mensurável a forma da resposta (pequeno desvio em amplitude/tempo). Portanto a aproximação de segunda ordem não é excelente, é aceitável com reservas (marginal).
Resposta
Polo do compensador:
(aprox.).
Validade da aproximação de 2ª ordem: marginalmente válida — polos não-dominantes em ; os dois primeiros estão perto do dominante, logo a aproximação não é muito precisa.
Validade da aproximação de 2ª ordem: marginalmente válida — polos não-dominantes em