Considere os sistemas descritos pelas funções de transferência
(a) Esboce os diagramas de Bode de
e
utilizando aproximações assintóticas;
(b) Calcule as respostas desses sistemas em regime estacionário quando forem submetidos às seguintes entradas:
i.
;
ii.
.
(b) Calcule as respostas desses sistemas em regime estacionário quando forem submetidos às seguintes entradas:
i.
ii.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
-
Dados (peguei do enunciado):
-
. -
.
-
-
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Esboçar os diagramas de Bode de
e usando aproximações assintóticas. - (b) Calcular as respostas em regime estacionário (resposta permanente a senóides) desses dois sistemas para as entradas:
- (i)
. - (ii)
.
- (i)
- (a) Esboçar os diagramas de Bode de
É isso que vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Noções e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
-
Bode (aproximações assintóticas):
- Representamos a magnitude em decibéis como
. - Cada polo simples em
adiciona uma inclinação de para (e faz a fase variar aproximadamente de a ao atravessar a década do polo). - Cada zero simples em
adiciona para (e faz a fase variar aproximadamente de a ao atravessar a década do zero), porém atenção: um zero no semiplano direito (zero de sinal com raiz ) é não-minimum-phase — a magnitude assintótica é a mesma, mas a variação de fase tem comportamento diferente (mais abaixo eu explico como tratar). - Um pólo em
(integrador) dá em toda a faixa e fase . - Para desenhar assíntotas, localize as frequências de quebra
(módulos das constantes dos fatores) e some as contribuições de inclinação.
- Representamos a magnitude em decibéis como
-
Resposta senoidal em regime permanente:
- Para um sistema linear invariante, se a entrada for
, a saída em regime estacionário é Aqui é o ganho em módulo e é a fase (em graus ou rad). - Para entradas somas de senóides, aplicar princípio da superposição: calcular a saída de cada componente e somar.
- Para um sistema linear invariante, se a entrada for
Passo 3
Bode assintótico de
— identificação e regras.
-
Escrevendo em fatores padrão:(observe que o ganho em
é , ou .) -
Pólo:
- Pólo simples em
frequência de quebra . - Para
: inclinação (ganho praticamente constante) e nível . - Para
: inclinação . - Em
a magnitude real cai cerca de em relação à assíntota baixa (ponto de transição).
- Pólo simples em
-
Fase aproximada (assintótica):
- Antes de uma década abaixo de
: fase . - Em torno de
: passa por . - Uma década acima de
: fase . - Fórmula exata (útil depois):
(em graus, multiplicar por quando avaliar numericamente).
- Antes de uma década abaixo de
Passo 4
Cálculos numéricos úteis para
(vamos precisar para a parte (b)).
- Módulo de
: - Fase:
Avaliações que usaremos:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Bode assintótico de
— identificação e observações importantes.
-
Fatores:
- Fator constante
: ganho nominal e fase adicional de (ou ) por causa do sinal negativo. - Zero em
(zero no semiplano direito!): raíz em . Para magnitude: contribui com a partir de . Para fase: trataremos com cuidado (comportamento não-minimum-phase). - Pólo em
(integrador): dá em toda a faixa e fase . - Pólo em
: frequência de quebra com contribuição para .
- Fator constante
-
Somas de inclinações assintóticas:
- Para
: só o integrador atua inclinação total . - Para
: o zero em adiciona cancelando o integrador inclinação total (plano aproximadamente horizontal). - Para
: soma das contribuições: .
- Para
-
Fase (expressão exata, muito útil):
- Para
, Como e , desenvolvendo: onde está em graus na avaliação numérica (ou em rad se mantiver a coerência). Note que essa expressão pode ser reduzida por adição/subtração de para ficar em se preferir um ângulo principal.
- Para
-
Comportamento limite:
-
: que é equivalente a (o integrador domina). -
: .
-
Passo 6
Cálculos numéricos para
nos
que precisamos (
e
) — fazer contas passo a passo.
-
Fórmula de módulo:
-
Para
: -
-
- Logo
- Fase:
que é equivalente a quando se usa a representação em .
-
-
Para
: -
-
- Logo
- Fase:
que é equivalente a se for reduzir além de , mas é prático usar ou a sua alternativa em intervalo principal . Para manipulação com fases em soma, podemos também representar como ou como ; todas são congruentes módulo .
-
Passo 7
Regra prática para passar da entrada para a saída em regime estacionário (relembrando e justificando).
- Se
, então -
é amplitude da entrada. -
é ganho do sistema na frequência . -
é a defasagem (em graus) imposta pelo sistema.
-
- Para entradas formadas pela soma de senóides, calcular a saída de cada componente (mesmo procedimento) e somar.
Passo 8
Calcular as respostas em regime estacionário pedidas (aplicar tudo o que fizemos).
Primeiro, reescrever a entrada (ii) numa soma de senóides em forma seno:
-
.
Portanto a entrada (ii) é
Agora aplicar a fórmula componente a componente.
A) Respostas para
.
-
Para
, já temos: - Entrada (i):
- Entrada (ii) — componente
com amplitude :
- Entrada (i):
-
Para
, já temos: - Entrada (ii) — componente
com amplitude (lembrando que convertimos o cosseno em seno com fase ):
- Entrada (ii) — componente
-
Somando as duas componentes para a entrada (ii):
B) Respostas para
.
-
Para
, temos: - Entrada (i):
- Entrada (ii) — componente
com amplitude :
- Entrada (i):
-
Para
, temos: (como explicado antes, esta fase pode ser vista também como; ambas são congruentes módulo .) - Entrada (ii) — componente
com amplitude e fase : (Se preferir a fase num intervalo , .)
- Entrada (ii) — componente
-
Somando para a entrada (ii):