Considere os sistemas descritos pelas funções de transferência
G_{1}(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{20}{s+2}, \quad G_{2}(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{-2(s-1)}{s(s+20)} .
(a) Esboce os diagramas de Bode de G_{1}(s) e G_{2}(s) utilizando aproximações assintóticas;
(b) Calcule as respostas desses sistemas em regime estacionário quando forem submetidos às seguintes entradas:
i. u(t)=2 \sin \left(t+30^{\circ}\right);
ii. u(t)=0,5 \sin \left(t+30^{\circ}\right)+3 \cos \left(5 t-45^{\circ}\right).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados (peguei do enunciado):
    • G_{1}(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{20}{s+2}.
    • G_{2}(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{-2(s-1)}{s(s+20)}.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. (a) Esboçar os diagramas de Bode de G_{1}(s) e G_{2}(s) usando aproximações assintóticas.
    2. (b) Calcular as respostas em regime estacionário (resposta permanente a senóides) desses dois sistemas para as entradas:
      • (i) u(t)=2\sin\!\bigl(t+30^\circ\bigr).
      • (ii) u(t)=0{,}5\sin\!\bigl(t+30^\circ\bigr)+3\cos\!\bigl(5t-45^\circ\bigr).
É isso que vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Noções e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Bode (aproximações assintóticas):
    • Representamos a magnitude em decibéis como \,20\log_{10}|G(j\omega)|.
    • Cada polo simples em s=-a adiciona uma inclinação de -20\\ \text{dB/dec} para \omega>a (e faz a fase variar aproximadamente de 0^\circ a -90^\circ ao atravessar a década do polo).
    • Cada zero simples em s=-a adiciona +20\\ \text{dB/dec} para \omega>a (e faz a fase variar aproximadamente de 0^\circ a +90^\circ ao atravessar a década do zero), porém atenção: um zero no semiplano direito (zero de sinal (s-1) com raiz +1) é não-minimum-phase — a magnitude assintótica é a mesma, mas a variação de fase tem comportamento diferente (mais abaixo eu explico como tratar).
    • Um pólo em s=0 (integrador) dá -20\\ \text{dB/dec} em toda a faixa e fase -90^\circ.
    • Para desenhar assíntotas, localize as frequências de quebra \omega_c (módulos das constantes dos fatores) e some as contribuições de inclinação.
  • Resposta senoidal em regime permanente:
    • Para um sistema linear invariante, se a entrada for u(t)=A\sin(\omega t+\varphi_u), a saída em regime estacionário é y_{ss}(t)=A\,|G(j\omega)|\,\sin\bigl(\omega t+\varphi_u+\angle G(j\omega)\bigr).Aqui |G(j\omega)| é o ganho em módulo e \angle G(j\omega) é a fase (em graus ou rad).
    • Para entradas somas de senóides, aplicar princípio da superposição: calcular a saída de cada componente e somar.

Passo 3

Bode assintótico de G_{1}(s)=\dfrac{20}{s+2} — identificação e regras.
  • Escrevendo em fatores padrão:
    G_{1}(s)=\frac{20}{s+2}=\frac{10}{1+\dfrac{s}{2}}.
    (observe que o ganho em \omega=0 é G_1(0)=20/2=10, ou 20\log_{10}10=20\\ \text{dB}.)
  • Pólo:
    • Pólo simples em s=-2 \Rightarrow frequência de quebra \omega_c=2\\ \text{rad/s}.
    • Para \omega\ll2: inclinação 0\\ \text{dB/dec} (ganho praticamente constante) e nível \approx20\\ \text{dB}.
    • Para \omega\gg2: inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
    • Em \omega=2 a magnitude real cai cerca de 3\\ \text{dB} em relação à assíntota baixa (ponto de transição).
  • Fase aproximada (assintótica):
    • Antes de uma década abaixo de 2: fase \approx 0^\circ.
    • Em torno de \omega=2: passa por -45^\circ.
    • Uma década acima de 2: fase \approx -90^\circ.
    • Fórmula exata (útil depois): \angle G_{1}(j\omega)=-\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{2}\right) (em graus, multiplicar por 180/\pi quando avaliar numericamente).

Passo 4

Cálculos numéricos úteis para G_1 (vamos precisar para a parte (b)).
  • Módulo de G_1(j\omega): |G_{1}(j\omega)|=\frac{20}{\sqrt{\omega^{2}+2^{2}}}.
  • Fase: \angle G_{1}(j\omega)=-\arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right).
Avaliações que usaremos:
  • Para \omega=1: |G_{1}(j1)|=\frac{20}{\sqrt{1+4}}=\frac{20}{\sqrt{5}}= \frac{20}{\;2{,}2360679\;} \approx 8{,}9442719,
\angle G_{1}(j1)=-\arctan\!\left(\frac{1}{2}\right)\approx -26{,}565051^\circ.
  • Para \omega=5: |G_{1}(j5)|=\frac{20}{\sqrt{25+4}}=\frac{20}{\sqrt{29}}\approx 3{,}7139060,
\angle G_{1}(j5)=-\arctan\!\left(\frac{5}{2}\right)\approx -68{,}198591^\circ.

Passo 5

Bode assintótico de G_{2}(s)=\dfrac{-2(s-1)}{s(s+20)} — identificação e observações importantes.
  • Fatores:
    • Fator constante -2: ganho nominal 2 e fase adicional de 180^\circ (ou -180^\circ) por causa do sinal negativo.
    • Zero em s=+1 (zero no semiplano direito!): raíz em +1. Para magnitude: contribui com +20\\ \text{dB/dec} a partir de \omega=1. Para fase: trataremos com cuidado (comportamento não-minimum-phase).
    • Pólo em s=0 (integrador): dá -20\\ \text{dB/dec} em toda a faixa e fase -90^\circ.
    • Pólo em s=-20: frequência de quebra \omega_c=20 com contribuição -20\\ \text{dB/dec} para \omega>20.
  • Somas de inclinações assintóticas:
    • Para \omega<1: só o integrador atua \Rightarrow inclinação total -20\\ \text{dB/dec}.
    • Para 1<\omega<20: o zero em 1 adiciona +20\\ \text{dB/dec} cancelando o integrador \Rightarrow inclinação total 0\\ \text{dB/dec} (plano aproximadamente horizontal).
    • Para \omega>20: soma das contribuições: -20 +20 -20 = -20\\ \text{dB/dec}.
  • Fase (expressão exata, muito útil):
    • Para s=j\omega, \angle G_{2}(j\omega)=\angle(-2)+\angle(j\omega-1)-\angle(j\omega)-\angle(j\omega+20).Como \angle(-2)=180^\circ e \angle(j\omega)=90^\circ, desenvolvendo: \angle G_{2}(j\omega)=270^\circ-\arctan(\omega)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{20}\right),onde \arctan(\cdot) está em graus na avaliação numérica (ou em rad se mantiver a coerência). Note que essa expressão pode ser reduzida por adição/subtração de 360^\circ para ficar em (-180^\circ,180^\circ] se preferir um ângulo principal.
  • Comportamento limite:
    • \omega\to 0^+: \angle G_2\to 270^\circ que é equivalente a -90^\circ (o integrador domina).
    • \omega\to\infty: \angle G_2\to 270^\circ-90^\circ-90^\circ=90^\circ.

Passo 6

Cálculos numéricos para G_2 nos \omega que precisamos ( \omega=1 e \omega=5) — fazer contas passo a passo.
  • Fórmula de módulo:
    |G_{2}(j\omega)|=\frac{2\,|j\omega-1|}{\omega\,|j\omega+20|} =\frac{2\sqrt{(\!-1)^2+\omega^2}}{\omega\sqrt{20^2+\omega^2}}.
  • Para \omega=1:
    • |j1-1|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}\approx 1{,}4142136.
    • |j1+20|=\sqrt{20^2+1^2}=\sqrt{401}\approx 20{,}0249844.
    • Logo |G_{2}(j1)|=\frac{2\cdot 1{,}4142136}{1\cdot 20{,}0249844}\approx 0{,}141241.
    • Fase: \angle G_{2}(j1)=270^\circ-\arctan(1)-\arctan\!\left(\frac{1}{20}\right) =270^\circ-45^\circ-2{,}862405^\circ\approx 222{,}137595^\circ,que é equivalente a -137{,}862405^\circ quando se usa a representação em (-180^\circ,180^\circ].
  • Para \omega=5:
    • |j5-1|=\sqrt{(-1)^2+5^2}=\sqrt{26}\approx 5{,}0990195.
    • |j5+20|=\sqrt{20^2+5^2}=\sqrt{425}\approx 20{,}6155281.
    • Logo |G_{2}(j5)|=\frac{2\cdot 5{,}0990195}{5\cdot 20{,}6155281} \approx 0{,}098963.
    • Fase: \angle G_{2}(j5)=270^\circ-\arctan(5)-\arctan\!\left(\frac{5}{20}\right) =270^\circ-78{,}690068^\circ-14{,}036243^\circ \approx 177{,}273689^\circ,que é equivalente a -182{,}726311^\circ se for reduzir além de \pm180^\circ, mas é prático usar 177{,}273689^\circ ou a sua alternativa em intervalo principal -182{,}726311^\circ+360^\circ=177{,}273689^\circ. Para manipulação com fases em soma, podemos também representar como -182{,}726311^\circ ou como 177{,}273689^\circ; todas são congruentes módulo 360^\circ.

Passo 7

Regra prática para passar da entrada para a saída em regime estacionário (relembrando e justificando).
  • Se u(t)=A\sin(\omega t+\varphi_u), então y_{ss}(t)=A\,|G(j\omega)|\,\sin\bigl(\omega t+\varphi_u+\angle G(j\omega)\bigr).
    • A é amplitude da entrada.
    • |G(j\omega)| é ganho do sistema na frequência \omega.
    • \angle G(j\omega) é a defasagem (em graus) imposta pelo sistema.
  • Para entradas formadas pela soma de senóides, calcular a saída de cada componente (mesmo procedimento) e somar.

Passo 8

Calcular as respostas em regime estacionário pedidas (aplicar tudo o que fizemos).
Primeiro, reescrever a entrada (ii) numa soma de senóides em forma seno:
  • 3\cos(5t-45^\circ)=3\sin(5t-45^\circ+90^\circ)=3\sin(5t+45^\circ).
    Portanto a entrada (ii) é
u(t)=0{,}5\sin\!\bigl(t+30^\circ\bigr)+3\sin\!\bigl(5t+45^\circ\bigr).
Agora aplicar a fórmula componente a componente.
A) Respostas para G_{1}.
  • Para \omega=1, já temos:
    |G_{1}(j1)|\approx 8{,}9442719,\qquad \angle G_{1}(j1)\approx -26{,}565051^\circ.
    • Entrada (i): u(t)=2\sin(t+30^\circ) \Rightarrow y_{1}(t)=2\cdot 8{,}9442719\,\sin\bigl(t+30^\circ-26{,}565051^\circ\bigr) \approx 17{,}8885438\sin\bigl(t+3{,}434949^\circ\bigr).
    • Entrada (ii) — componente \omega=1 com amplitude 0{,}5: y_{1a}(t)=0{,}5\cdot 8{,}9442719\,\sin\bigl(t+30^\circ-26{,}565051^\circ\bigr) \approx 4{,}47213596\sin\bigl(t+3{,}434949^\circ\bigr).
  • Para \omega=5, já temos:
    |G_{1}(j5)|\approx 3{,}7139060,\qquad \angle G_{1}(j5)\approx -68{,}198591^\circ.
    • Entrada (ii) — componente \omega=5 com amplitude 3 (lembrando que convertimos o cosseno em seno com fase +45^\circ): y_{1b}(t)=3\cdot 3{,}7139060\,\sin\bigl(5t+45^\circ-68{,}198591^\circ\bigr) \approx 11{,}141718\sin\bigl(5t-23{,}198591^\circ\bigr).
  • Somando as duas componentes para a entrada (ii):
    y_{1}(t)=4{,}47213596\sin\bigl(t+3{,}434949^\circ\bigr)+11{,}141718\sin\bigl(5t-23{,}198591^\circ\bigr).
B) Respostas para G_{2}.
  • Para \omega=1, temos:
    |G_{2}(j1)|\approx 0{,}141241,\qquad \angle G_{2}(j1)\approx 222{,}137595^\circ\equiv -137{,}862405^\circ.
    • Entrada (i): u(t)=2\sin(t+30^\circ) \Rightarrow y_{2}(t)=2\cdot 0{,}141241\,\sin\bigl(t+30^\circ-137{,}862405^\circ\bigr) \approx 0{,}282482\sin\bigl(t-107{,}862405^\circ\bigr).
    • Entrada (ii) — componente \omega=1 com amplitude 0{,}5: y_{2a}(t)=0{,}5\cdot 0{,}141241\,\sin\bigl(t+30^\circ-137{,}862405^\circ\bigr) \approx 0{,}0706205\sin\bigl(t-107{,}862405^\circ\bigr).
  • Para \omega=5, temos:
    |G_{2}(j5)|\approx 0{,}098963,\qquad \angle G_{2}(j5)\approx 177{,}273689^\circ.
    (como explicado antes, esta fase pode ser vista também como -182{,}726311^\circ; ambas são congruentes módulo 360^\circ.)
    • Entrada (ii) — componente \omega=5 com amplitude 3 e fase +45^\circ: y_{2b}(t)=3\cdot 0{,}098963\,\sin\bigl(5t+45^\circ+177{,}273689^\circ\bigr) \approx 0{,}296889\sin\bigl(5t+222{,}273689^\circ\bigr).(Se preferir a fase num intervalo (-180^\circ,180^\circ], +222{,}273689^\circ\equiv -137{,}726311^\circ.)
  • Somando para a entrada (ii):
    y_{2}(t)=0{,}0706205\sin\bigl(t-107{,}862405^\circ\bigr)+0{,}296889\sin\bigl(5t+222{,}273689^\circ\bigr).

Resposta

G_{1},\\ \text{entrada (i)}:\;y(t)=17{,}8885438\sin\bigl(t+3{,}434949^\circ\bigr)\n
G_{2},\\ \text{entrada (i)}:\;y(t)=0{,}282482\sin\bigl(t-107{,}862405^\circ\bigr)\n
G_{1},\\ \text{entrada (ii)}:\;y(t)=4{,}47213596\sin\bigl(t+3{,}434949^\circ\bigr)+11{,}141718\sin\bigl(5t-23{,}198591^\circ\bigr)\n
G_{2},\\ \text{entrada (ii)}:\;y(t)=0{,}0706205\sin\bigl(t-107{,}862405^\circ\bigr)+0{,}296889\sin\bigl(5t+222{,}273689^\circ\bigr)

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