Dado o tensor condutividade de Hall, obtenha o tensor da resistividade.

Passo 1

O enunciado nos dá o tensor de condutividade de Hall e pede para obter o tensor de resistividade. O conteúdo aqui é saber que o tensor de resistividade \boldsymbol\rho é simplesmente a matriz inversa do tensor de condutividade \boldsymbol\sigma, ou seja
\boldsymbol\rho = \boldsymbol\sigma^{-1}.
Para fazer isso, vamos considerar o caso mais comum em que o campo magnético está na direção z, de modo que só aparecem componentes de Hall no plano xy.

Passo 2

Escrevemos o tensor de condutividade de Hall na base (x,y,z). Em geral ele tem a forma
\boldsymbol\sigma = \begin{pmatrix} \sigma_0 & \sigma_H & 0\\\\ -\sigma_H & \sigma_0 & 0\\\\ 0 & 0 & \sigma_0 \end{pmatrix},
onde \sigma_0 é a condutividade de Drude (diagonal) e \sigma_H é a condutividade de Hall (off-diagonal antis simétrica).

Passo 3

Para inverter \boldsymbol\sigma, note que é um bloco 2\times2 no plano xy mais o elemento isolado em zz. Começamos pelo bloco
A = \begin{pmatrix}\sigma_0 & \sigma_H\\\\ -\sigma_H & \sigma_0\end{pmatrix}.
O determinante desse bloco é
\det A = \sigma_0^2 + \sigma_H^2.
A inversa de A é
A^{-1} = \frac{1}{\sigma_0^2 + \sigma_H^2} \begin{pmatrix} \sigma_0 & -\sigma_H\\\ \phantom{-}\sigma_H & \sigma_0 \end{pmatrix}.

Passo 4

No eixo z temos apenas um elemento \sigma_{zz} = \sigma_0, cuja inversa é trivial:
\rho_{zz} = \frac{1}{\sigma_0}.
Portanto, o tensor de resistividade \boldsymbol\rho=\boldsymbol\sigma^{-1} fica
\boldsymbol\rho = \begin{pmatrix} \rho_{xx} & \rho_{xy} & 0\\\ \rho_{yx} & \rho_{yy} & 0\\\\ 0 & 0 & \rho_{zz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\sigma_0}{\sigma_0^2+\sigma_H^2} & \displaystyle -\frac{\sigma_H}{\sigma_0^2+\sigma_H^2} &0\\[1em] \displaystyle \frac{\sigma_H}{\sigma_0^2+\sigma_H^2} & \displaystyle \frac{\sigma_0}{\sigma_0^2+\sigma_H^2} &0\\[0.5em] 0&0&\displaystyle \frac{1}{\sigma_0} \end{pmatrix}.]

Resposta

\boldsymbol\rho = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\sigma_0}{\sigma_0^2+\sigma_H^2} & \displaystyle -\frac{\sigma_H}{\sigma_0^2+\sigma_H^2} &0\\[1em] \displaystyle \frac{\sigma_H}{\sigma_0^2+\sigma_H^2} & \displaystyle \frac{\sigma_0}{\sigma_0^2+\sigma_H^2} &0\\[0.5em] 0&0&\displaystyle \frac{1}{\sigma_0} \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados