Sabendo que estas retas são concorrentes, é correto afirmar que:
a) e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço, r e s, que dependem de dois parâmetros reais, e . A pergunta é: quais valores de e fazem com que essas duas retas se encontrem (ou seja, sejam concorrentes)? Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das retas e encontrar um ponto que pertence a ambas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas.
A reta está dada por:
Isso significa que podemos parametrizar a reta escolhendo um parâmetro, digamos , e expressando , e em termos de . Vamos fazer isso:
Então, os pontos da reta são dados por .
Passo 3
Agora, vamos analisar a reta 4x - beta y - 1 = 0 y + 2z = 0 . Ela está definida pelo sistema de equações:
y + 2z = 0 Rightarrow y = -2z
Podemos resolver esse sistema para expressar 4x - beta(-2z) - 1 = 0 Rightarrow 4x + 2beta z - 1 = 0 e 2beta z = 1 - 4x Rightarrow z = 1 - 4x2beta em termos de y = -2 ( 1 - 4x2beta ) = 4x - 1beta , ou escolher um parâmetro para representar os pontos da reta.
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação, temos:
x = t y = 4t - 1beta z = 1 - 4t2beta
Substituindo esse valor na primeira equação:
Podemos isolar :
E como :
Então, podemos parametrizar a reta usando :
Portanto, os pontos da reta são dados por .
Passo 4
Para que as retas t = t' 2t + alpha = 4t' - 1beta -t = 1 - 4t'2beta e t = t 2t + alpha = 4t - 1beta -t = 1 - 4t2beta sejam concorrentes, elas devem ter pelo menos um ponto em comum. Isso significa que existe um valor de para e um valor de para que resultam no mesmo ponto .
Vamos igualar as coordenadas dos pontos de e :
Aqui, e são parâmetros diferentes para cada reta, mas como queremos o mesmo ponto, podemos igualá-los, ou seja, .
Então, substituindo :
Passo 5
Vamos resolver as duas últimas equações para encontrar 2t + alpha = 4t - 1beta e beta(2t + alpha) = 4t - 1 (1) .
Primeiro, da segunda equação:
-t = 1 - 4t2beta
Multiplicando ambos os lados por -2beta t = 1 - 4t (2) :