Os dados da amostra times 1, times 2, ldots, x n muitas vezes representam séries temporais, em que x t=o valor observado de uma resposta variável x no tempo t. Muitas vezes, a série observada mostra uma grande quantidade de variação aleatória, o que torna difícil estudar o comportamento a longo prazo. Nessas situações, é desejável produzir uma versão suavizada das séries. Uma das técnicas utilizadas é a suavização exponencial. O valor de uma constante de suavização é escolhido ( 0 ). Então, com o valor suavizado xt no tempo t, definimos x 1=x 1 e, para t=2,3, ldots, n, x t=alpha x t+(1-alpha) x t-1.
Substitua xt-1=axt-1+(1-axt-2) no lado direito da expressão de xt e, então, substitua xt-2 em termos de xt-2 e xt-3 e assim por diante. De quantos valores xt, xt-1, ldots x 1 depende xt ? O que acontece ao coeficiente de xt-k quando k aumenta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre séries temporais e uma técnica chamada suavização exponencial, que ajuda a reduzir as variações aleatórias nos dados para entender melhor o comportamento a longo prazo. A gente vai precisar entender como a suavização exponencial funciona e aplicar substituições para descobrir de quantos valores passados o valor atual xt depende e o que acontece com os coeficientes conforme a distância no tempo aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da suavização exponencial que foi dada:
xt = alpha xt + (1 - alpha) xt-1
Na prática, a suavização exponencial normalmente é definida como:
St = alpha Ot + (1 - alpha) St-1
Onde St é o valor suavizado no tempo t e Ot é o valor observado. Mas, para seguir o enunciado, vamos usar a fórmula dada.

Passo 3

O próximo passo é fazer a substituição que o exercício pede. Vamos substituir xt-1 na fórmula de xt:
xt = alpha xt + (1 - alpha) xt-1
Substituindo xt-1 pela expressão fornecida:
xt = alpha xt + (1 - alpha) (a xt-1 + (1 - a) xt-2)

Passo 4

Agora, vamos expandir essa expressão:
xt = alpha xt + (1 - alpha) a xt-1 + (1 - alpha)^2 xt-2
Perceba que agora temos xt-1 e xt-2 na equação. Vamos continuar substituindo xt-1 da mesma forma.

Passo 5

Substituindo xt-1 novamente:
xt = alpha xt + (1 - alpha) a (alpha xt-1 + (1 - alpha) xt-2) + (1 - alpha)^2 xt-2
Isso gera uma expressão com xt-1, xt-2, e xt-3. Se continuarmos esse processo, veremos que cada novo termo adiciona um nível a mais de dependência.

Passo 6

Continuando as substituições, percebemos que a cada passo adicionamos um novo termo que depende de um valor anterior:
xt = alpha xt + (1 - alpha) a xt-1 + (1 - alpha)^2 xt-2 + (1 - alpha)^3 xt-3 + ldots
Isso mostra que xt depende de todos os valores anteriores da série: xt-1, xt-2, xt-3, e assim por diante.

Passo 7

Agora, vamos analisar os coeficientes de cada termo xt-k:
  • Para xt-1: coefficient é (1 - alpha) a
  • Para xt-2: coefficient é (1 - alpha)^2
  • Para xt-3: coefficient é (1 - alpha)^3
  • E assim por diante…
À medida que k aumenta, o coeficiente (1 - alpha)^k diminui porque 0 < alpha < 1, então (1 - alpha) < 1. Isso significa que os coeficientes se tornam menores e menores conforme nos afastamos no tempo.

Resposta

O valor atual xt depende de todos os valores anteriores da série ( xt, xt-1, xt-2, ldots, x1). Além disso, os coeficientes de xt-k diminuem exponencialmente conforme k aumenta, ou seja, os coeficientes se tornam cada vez menores à medida que nos afastamos no tempo.

Exercícios relacionados