Os dados da amostra
muitas vezes representam séries temporais, em que
valor observado de uma resposta variável
no tempo
. Muitas vezes, a série observada mostra uma grande quantidade de variação aleatória, o que torna difícil estudar o comportamento a longo prazo. Nessas situações, é desejável produzir uma versão suavizada das séries. Uma das técnicas utilizadas é a suavização exponencial. O valor de uma constante de suavização é escolhido (
). Então, com o valor suavizado xt no tempo
, definimos
e, para
.
Substitua xt-1=axt-1+(1-axt-2) no lado direito da expressão de xt e, então, substitua xt-2 em termos de xt-2 e xt-3 e assim por diante. De quantos valores
depende xt ? O que acontece ao coeficiente de
quando
aumenta?
Substitua xt-1=axt-1+(1-axt-2) no lado direito da expressão de xt e, então, substitua xt-2 em termos de xt-2 e xt-3 e assim por diante. De quantos valores
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre séries temporais e uma técnica chamada suavização exponencial, que ajuda a reduzir as variações aleatórias nos dados para entender melhor o comportamento a longo prazo. A gente vai precisar entender como a suavização exponencial funciona e aplicar substituições para descobrir de quantos valores passados o valor atual
depende e o que acontece com os coeficientes conforme a distância no tempo aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da suavização exponencial que foi dada:
Na prática, a suavização exponencial normalmente é definida como:
Onde
é o valor suavizado no tempo
e
é o valor observado. Mas, para seguir o enunciado, vamos usar a fórmula dada.
Passo 3
O próximo passo é fazer a substituição que o exercício pede. Vamos substituir
na fórmula de
:
Substituindo
pela expressão fornecida:
Passo 4
Agora, vamos expandir essa expressão:
Perceba que agora temos
e
na equação. Vamos continuar substituindo
da mesma forma.
Passo 5
Substituindo
novamente:
Isso gera uma expressão com
,
, e
. Se continuarmos esse processo, veremos que cada novo termo adiciona um nível a mais de dependência.
Passo 6
Continuando as substituições, percebemos que a cada passo adicionamos um novo termo que depende de um valor anterior:
Isso mostra que
depende de todos os valores anteriores da série:
,
,
, e assim por diante.
Passo 7
Agora, vamos analisar os coeficientes de cada termo
:
- Para
: coefficient é - Para
: coefficient é - Para
: coefficient é - E assim por diante…
À medida que
aumenta, o coeficiente
diminui porque
, então
. Isso significa que os coeficientes se tornam menores e menores conforme nos afastamos no tempo.
Resposta
O valor atual
depende de todos os valores anteriores da série (
,
,
,
,
). Além disso, os coeficientes de
diminuem exponencialmente conforme
aumenta, ou seja, os coeficientes se tornam cada vez menores à medida que nos afastamos no tempo.