1. Dados os ângulos a seguir, calcule o resultado das operações. Logo após converter para radianos:
g) 77^{\circ} 44^{\prime} 32^{\prime \prime}-51^{\circ} 04^{\prime} 59^{\prime \prime}=

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, em sequência:
  • Calcular a diferença entre os ângulos dados: 77^{\circ}\;44^{\prime}\;32^{\prime\prime} - 51^{\circ}\;04^{\prime}\;59^{\prime\prime}.
  • Em seguida converter o resultado obtido para radianos.
Informações relevantes fornecidas:
  • Primeiro ângulo: 77^{\circ}\;44^{\prime}\;32^{\prime\prime}.
  • Segundo ângulo: 51^{\circ}\;04^{\prime}\;59^{\prime\prime}.
  • Lembrar que 1^{\prime}=60^{\prime\prime} e 1^{\circ}=60^{\prime}.

Passo 2

Como subtrair ângulos em graus, minutos e segundos (DMS): faz-se a subtração componente a componente, começando pelos segundos; se a componente de cima for menor, toma-se emprestado 1 minuto (= 60 segundos) do termo dos minutos. O mesmo procedimento vale para os minutos, emprestando 1 grau (= 60 minutos) se necessário. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Subtração dos segundos: temos 32^{\prime\prime}-59^{\prime\prime}. Como 32<59, não dá direto. Emprestamos 1^{\prime}=60^{\prime\prime} dos minutos do primeiro ângulo:
  • Os minutos do primeiro ângulo passam de 44^{\prime} para 43^{\prime}.
  • Os segundos passam a ser 32^{\prime\prime}+60^{\prime\prime}=92^{\prime\prime}.
    Agora subtraímos os segundos:
92^{\prime\prime}-59^{\prime\prime}=33^{\prime\prime}.

Passo 4

Subtração dos minutos: após o empréstimo, os minutos são 43^{\prime} (no minuendo) e 04^{\prime} (no subtraendo). Subtraindo:
43^{\prime}-4^{\prime}=39^{\prime}.

Passo 5

Subtração dos graus: os graus são 77^{\circ} e 51^{\circ}. Subtraindo:
77^{\circ}-51^{\circ}=26^{\circ}.

Passo 6

Juntando os resultados das três componentes obtemos o ângulo diferença em DMS:
26^{\circ}\;39^{\prime}\;33^{\prime\prime}.
Isso é o resultado exato em graus, minutos e segundos.

Passo 7

Agora converter para radianos. Lembretes úteis:
  • A relação fundamental é \displaystyle 1^{\circ}=\frac{\pi}{180}\\ \text{rad}.
  • Portanto \displaystyle 1^{\prime}=\frac{\pi}{10800}\\ \text{rad} (porque 1^{\prime}=\tfrac{1}{60}^{\circ}) e \displaystyle 1^{\prime\prime}=\frac{\pi}{648000}\\ \text{rad} (porque 1^{\prime\prime}=\tfrac{1}{3600}^{\circ}).
Vou usar a representação exata por frações: somar as contribuições de graus, minutos e segundos em radianos.

Passo 8

Converter cada parcela em radianos e somar (forma exata):
26^{\circ}\;39^{\prime}\;33^{\prime\prime} =26\cdot\frac{\pi}{180}+39\cdot\frac{\pi}{10800}+33\cdot\frac{\pi}{648000}.
Colocando sobre um denominador comum:
26^{\circ}\;39^{\prime}\;33^{\prime\prime} =\frac{95973\pi}{648000}.
Simplificando \gcd(95973,648000)=3, obtemos a forma reduzida
\frac{31991\pi}{216000}.
Essa é a expressão exata em radianos.

Passo 9

Para uso prático, um valor decimal aproximado é útil. Calculando numericamente:
\frac{31991\pi}{216000}\approx0{,}4652902775\\ \text{rad}.
(Arredondei a aproximadamente dez casas decimais; na prova, três ou quatro casas decimais costumam bastar.)

Resposta

26^{\circ}\;39^{\prime}\;33^{\prime\prime}
\displaystyle \frac{31991\pi}{216000}\\ \text{rad}\approx0{,}4652902775\\ \text{rad}